حاسبة قوس الظل (Arctan)

أدخل قيمة الظل	٥
الزاوية بالدرجات	٧٨٫٦٩٠٠٦٨°
الزاوية بالراديان	١٫٣٧٣٤٠١ rad

ما الذي تقوم به حاسبة قوس الظل

تتيح لك حاسبة قوس الظل إيجاد الزاوية التي يساوي ظلّها قيمة معيّنة تدخلها بنفسك. بعبارة أخرى، إذا كنت تعرف أن ظلّ زاوية مجهولة يساوي عددًا ما x، فإن هذه الأداة تعكس العملية وتعيد لك الزاوية نفسها. وهي تعمل بالطريقة ذاتها في أي مكان في العالم — فعلم المثلثات لغة عالمية واحدة — لذا لا توجد أي خصوصية مرتبطة ببلد معيّن تحتاج إلى الانتباه لها.

مثلث قائم الزاوية يوضح نسبة المقابل على المجاور مع الزاوية ثيتا — يستعيد الظل العكسي الزاوية θ من نسبة الظل (المقابل على المجاور).

المدخلات التي تزوّدنا بها

قيمة الظل: العدد الذي تريد إيجاد قوس الظل العكسي له. ويمكن أن يكون أي عدد حقيقي — موجبًا أو سالبًا أو صفرًا (مثل 1 أو 0.5773- أو 2.5).
وحدة النتيجة: اختر الدرجات أو الراديان للتحكم في طريقة عرض الإجابة. تحسب الأداة الوحدتين دائمًا داخليًا، فتستطيع رؤية الزاوية بأي منهما.

المعادلة المستخدمة

يعتمد الحساب الأساسي على دالة الظل العكسي:

$$\theta = \arctan\left(\text{Tangent Value}\right)$$

تستدعي الأداة داخليًا الدالة Math.atan(x)، التي تعيد الزاوية دائمًا بوحدة الراديان. ثم تُحوَّل قيمة الراديان هذه إلى درجات باستخدام Math.toDegrees(). وتصبح الوحدة التي تختارها هي النتيجة الرئيسية المعروضة، مع بقاء النسختين متاحتين معًا. لاحظ أن مدى قوس الظل يقع بين 90°− و90°+ (أي بين $\pi/2-$ و$\pi/2+$ راديان)، لذا تكون الإجابة دائمًا ضمن هذا المجال — وهذه هي القيمة الأساسية (الرئيسية) للظل العكسي.

اعلان

رسم بياني لدالة الظل العكسي تقترب من الخطوط المقاربة الأفقية — يربط منحنى الظل العكسي أي قيمة ظل حقيقية بزاوية تتراوح بين -90 و+90 درجة.

مثال تطبيقي محلول

لنفترض أنك أدخلت قيمة ظل تساوي 1 واخترت الدرجات.

تحسب الأداة Math.atan(1) = 0.7853981634 راديان.
وبالتحويل نحصل على $$0.7853981634 \times \left(180 \div \pi\right) = 45°$$
وبما أنك اخترت الدرجات، تُعرض النتيجة 45°، مع إظهار قيمة الراديان (0.7854) أيضًا.

وهذا يتوافق مع الحقيقة المعروفة بأن $\tan(45°) = 1$.

اعلان

كيفية حساب الدالة العكسية للظل يدويًا

للعثور على زاوية من قيمة ظل معروفة، اتبع هذه الخطوات:

حدّد قيمة الظل $x$. هذا هو نسبة الضلع المقابل إلى الضلع المجاور في مثلث قائم الزاوية، أو أي قيمة تود عكسها. على سبيل المثال، خذ $x = 1$.
طبّق $\theta = \arctan(x)$ باستخدام آلة حاسبة علمية (مفتاح $\tan^{-1}$) أو جدول مرجعي للحصول على الزاوية بالراديان. بالنسبة إلى $x = 1$، $\arctan(1) = \tfrac{\pi}{4} \approx 0.7854$ راديان.
حوّل الراديان إلى درجات بالضرب في $\tfrac{180}{\pi}$:
$$\theta = 0.7854 \times \frac{180}{\pi} = 45^\circ.$$ يمكنك التحقق من تحويل الراديان إلى درجات باستخدام 45°.
تأكد من أن الإجابة تقع في النطاق الرئيسي $-90^\circ$ إلى $+90^\circ$ (أي $-\tfrac{\pi}{2}$ إلى $+\tfrac{\pi}{2}$). تُرجع الدالة العكسية للظل دائمًا هذه القيمة الرئيسية؛ 45° تحقق هذا الشرط.
أضف مضاعفات $180^\circ$ (أو $\pi$ راديان) إذا كنت بحاجة إلى حلول أخرى متطابقة الزاوية. لأن $\tan\theta$ يتكرر كل $180^\circ$، مجموعة الحلول الكاملة هي $\theta = \arctan(x) + 180^\circ \cdot n$ لأي عدد صحيح $n$. إذن بالنسبة إلى $x = 1$، الزوايا الصحيحة تشمل أيضًا $45^\circ + 180^\circ = 225^\circ$.

انتبه للإشارة: قيمة ظل سالبة تعطي زاوية رئيسية سالبة (مثلاً $\arctan(-1) = -45^\circ$)، مما يضع الزاوية في الربع الرابع من النطاق المعياري.

الأسئلة الشائعة

لماذا لا تتجاوز النتيجة أبدًا 90 درجة؟ لأن دالة الظل تتكرر كل 180°، فيجب أن تعيد الدالة العكسية إجابة واحدة محدّدة. ووفقًا للاصطلاح المتعارف عليه، يعيد قوس الظل القيمة الأساسية بين 90°− و90°+.

هل يمكنني إدخال أعداد سالبة؟ نعم. تنتج قيمة الظل السالبة زاوية سالبة. فمثلًا، إدخال 1− يعيد 45°− (أو 0.7854− راديان).

ما الفرق بين الدرجات والراديان هنا؟ إنهما وحدتان لقياس الزاوية نفسها فحسب. فـ 180° تساوي $\pi$ راديان (نحو 3.14159)، وبالتالي فإن 45° تساوي 0.7854 راديان. وإعداد وحدة النتيجة يغيّر طريقة عرض الرقم فقط، ولا يغيّر قيمة الزاوية الأصلية.