ما هي حاسبة المتجهات الذاتية لمصفوفة 2×2؟
تتيح لك هذه الأداة إيجاد القيم الذاتية والمتجهات الذاتية لأي مصفوفة من الرتبة 2×2 على الصورة \(A = [[a, b], [c, d]]\). المتجه الذاتي v هو متجه غير صفري لا تفعل المصفوفة به سوى تمديده أو تقليصه، أي أن \(Av = \lambda v\) حيث يُسمّى العدد القياسي \(\lambda\) القيمة الذاتية المرافقة له. تكشف المتجهات الذاتية عن المحاور الطبيعية لأي تحويل خطّي، ولها دور محوري في المعادلات التفاضلية، وتحليل المكوّنات الرئيسية (PCA)، وتحليل الاهتزازات، وميكانيكا الكم.
كيفية الاستخدام
أدخل عناصر المصفوفة الأربعة: a (أعلى اليسار)، وb (أعلى اليمين)، وc (أسفل اليسار)، وd (أسفل اليمين)، ثم اقرأ القيمتين الذاتيتين ومتجهًا ذاتيًا ممثّلًا لكلٍّ منهما. تذكّر أن المتجه الذاتي لا يُعرَّف إلا حتى مضاعف قياسي، أي أن أي مضاعف غير صفري للنتيجة يُعدّ صحيحًا تمامًا مثلها.
شرح القانون
تُحَل القيم الذاتية من المعادلة المميِّزة \(\det(A - \lambda I) = 0\)، التي تتوسّع إلى \(\lambda^2 - (a+d)\lambda + (ad-bc) = 0\). وبتطبيق القانون العام للمعادلة التربيعية نحصل على
$$\lambda_{1,2} = \frac{(\text{a}+\text{d}) \pm \sqrt{(\text{a}+\text{d})^2 - 4(\text{a}\,\text{d} - \text{b}\,\text{c})}}{2}$$ولكل قيمة \(\lambda\) نحلّ المعادلة \((A - \lambda I)v = 0\)؛ ومن المتجهات الذاتية المريحة
$$\left\{ \begin{aligned} v_i &= \left(\text{b},\; \lambda_i - \text{a}\right) \\ \text{or } v_i &= \left(\lambda_i - \text{d},\; \text{c}\right) \end{aligned} \right.$$أي \(v = (b, \lambda - a)\)، أو \(v = (\lambda - d, c)\) في حالة \(b = 0\).
مثال محلول
لنأخذ المصفوفة \(A = [[2, 1], [1, 2]]\). الأثر (Trace) \(= 4\)، والمحدِّد \(= 4 - 1 = 3\)، والمميِّز \(= 16 - 12 = 4\). إذًا \(\lambda = (4 \pm 2)/2 = 3\) و\(1\). عند \(\lambda_1 = 3\): \(v = (b, \lambda-a) = (1, 1)\). وعند \(\lambda_2 = 1\): \(v = (1, -1)\). وهذان هما الاتجاهان القُطريان المألوفان لأي مصفوفة متماثلة.
الأسئلة الشائعة
لماذا تختلف متجهاتي الذاتية عمّا في الكتاب المدرسي؟ المتجهات الذاتية فريدة فقط حتى مضاعف قياسي، فالمتجهان \((1, 1)\) و\((2, 2)\) يصفان المتجه الذاتي نفسه.
ماذا لو كان المميِّز سالبًا؟ عندئذٍ تكون للمصفوفة قيم ذاتية مركّبة (متلازمة)؛ وتعرض هذه الحاسبة الجزء الحقيقي المشترك بينها وتنبّهك إلى وجود الحالة المركّبة.
هل تعمل مع المصفوفة القُطرية؟ نعم؛ فعندما يكون \(b = c = 0\) تكون متجهات الأساس القياسية \((1, 0)\) و\((0, 1)\) هي المتجهات الذاتية.
