Калькулятор собственных векторов матрицы 2×2

Введите расчет

a (левый верхний)

b (правый верхний)

c (левый нижний)

d (правый нижний)

Результатов

Собственное значение λ₁ и собственный вектор

λ₁ = 3

v₁ = (1, 1)

Собственное значение λ₂	1
Собственный вектор v₂	(1, -1)
След (a+d)	4
Определитель (ad−bc)	3

Что такое калькулятор собственных векторов матрицы 2×2?

Этот инструмент находит собственные значения и собственные векторы любой матрицы 2×2 вида A = [[a, b], [c, d]]. Собственный вектор v — это ненулевой вектор, который матрица лишь растягивает или сжимает: \(Av = \lambda v\), где скаляр \(\lambda\) называется собственным значением. Собственные векторы задают «естественные оси» линейного преобразования и играют ключевую роль в дифференциальных уравнениях, методе главных компонент (PCA), анализе колебаний и квантовой механике.

Как пользоваться калькулятором

Введите четыре элемента матрицы — a (левый верхний), b (правый верхний), c (левый нижний) и d (правый нижний) — и сразу же получите два собственных значения и по одному характерному собственному вектору для каждого из них. Собственные векторы определены лишь с точностью до скалярного множителя, поэтому любой ненулевой кратный результата столь же верен.

Разбор формулы

Собственные значения находятся из характеристического уравнения \(\det(A - \lambda I) = 0\), которое раскрывается в \(\lambda^2 - (a+d)\lambda + (ad-bc) = 0\). Решая его по формуле для квадратного уравнения, получаем

$$\lambda_{1,2} = \frac{(\text{a}+\text{d}) \pm \sqrt{(\text{a}+\text{d})^2 - 4(\text{a}\,\text{d} - \text{b}\,\text{c})}}{2}$$

Для каждого \(\lambda\) затем решаем систему \((A - \lambda I)v = 0\); удобный собственный вектор — \(v = (\text{b},\; \lambda - \text{a})\), либо \(v = (\lambda - \text{d},\; \text{c})\), если \(b = 0\).

Реклама

Собственный вектор сохраняет направление при действии матрицы; он лишь масштабируется на собственное значение \(\lambda\).

Разбор примера

Возьмём A = [[2, 1], [1, 2]]. След = 4, определитель = \(4 - 1 = 3\), дискриминант = \(16 - 12 = 4\). Тогда

$$\lambda = \frac{4 \pm 2}{2} = 3 \text{ и } 1$$

Для \(\lambda_1 = 3\): \(v = (\text{b},\; \lambda - \text{a}) = (1, 1)\). Для \(\lambda_2 = 1\): \(v = (1, -1)\). Это знакомые диагональные направления симметричной матрицы.

Ход решения: характеристическое уравнение даёт \(\lambda_1, \lambda_2\), по которым находят каждый собственный вектор.

Частые вопросы

Почему мои собственные векторы отличаются от ответа в учебнике? Собственные векторы определены лишь с точностью до масштаба, поэтому (1, 1) и (2, 2) задают один и тот же собственный вектор.

Что делать, если дискриминант отрицательный? У матрицы комплексные (сопряжённые) собственные значения; калькулятор показывает их общую действительную часть и отмечает, что случай комплексный.

Работает ли он для диагональной матрицы? Да — при \(b = c = 0\) собственными векторами служат базисные векторы (1, 0) и (0, 1).