什麼是 2×2 特徵向量計算器？
這個工具可以求出任意 2×2 矩陣 A = [[a, b], [c, d]] 的特徵值與特徵向量。所謂特徵向量 \(v\)，是一個非零向量，矩陣作用在它身上時只會把它拉長或縮短，而不會改變方向：\(Av = \lambda v\)，其中純量 \(\lambda\) 就是它的特徵值。特徵向量揭示了線性變換的「天然座標軸」，在微分方程、主成分分析（PCA）、振動分析與量子力學中都扮演核心角色。
使用方式
依序填入矩陣的四個元素——\(a\)（左上）、\(b\)（右上）、\(c\)（左下）與 \(d\)（右下），即可讀出兩個特徵值，以及每個特徵值對應的代表性特徵向量。要注意的是，特徵向量只在「差一個純量倍數」的意義下唯一，因此計算結果乘上任何非零倍數，都是同樣正確的答案。
公式說明
特徵值是特徵方程 \(\det(A - \lambda I) = 0\) 的解，展開後可得 \(\lambda^2 - (a+d)\lambda + (ad-bc) = 0\)。套用二次公式即得
$$\lambda = \frac{(a+d) \pm \sqrt{(a+d)^2 - 4(ad-bc)}}{2}$$針對每個 \(\lambda\)，再求解 \((A - \lambda I)v = 0\)；一個方便的特徵向量為 \(v = (b,\ \lambda - a)\)，而當 \(b = 0\) 時則可取 \(v = (\lambda - d,\ c)\)。
範例演算
以 A = [[2, 1], [1, 2]] 為例。跡（trace）= 4，行列式 \(= 4 - 1 = 3\)，判別式 \(= 16 - 12 = 4\)。因此
$$\lambda = \frac{4 \pm 2}{2}$$得到 3 與 1。當 \(\lambda_1 = 3\) 時：\(v = (b,\ \lambda - a) = (1,\ 1)\)；當 \(\lambda_2 = 1\) 時：\(v = (1,\ -1)\)。這兩個方向正是對稱矩陣常見的對角線方向。
常見問題
為什麼我算出的特徵向量和課本不一樣？特徵向量只在差一個倍數的意義下唯一，因此 (1, 1) 與 (2, 2) 描述的是同一個特徵向量。
如果判別式是負的怎麼辦？此時矩陣具有複數（共軛）特徵值；本計算器會回報它們共同的實部，並標示出這是複數的情況。
對角矩陣也能用嗎？可以——當 \(b = c = 0\) 時，標準基底向量 (1, 0) 與 (0, 1) 就是它的特徵向量。
