Máy tính vectơ riêng ma trận 2×2 là gì?
Công cụ này giúp tìm trị riêng và vectơ riêng của bất kỳ ma trận 2×2 nào dạng A = [[a, b], [c, d]]. Vectơ riêng v là một vectơ khác không mà ma trận chỉ kéo dãn hoặc co lại theo phương của nó: \(Av = \lambda v\), trong đó số vô hướng \(\lambda\) chính là trị riêng tương ứng. Vectơ riêng cho ta biết các trục tự nhiên của một phép biến đổi tuyến tính, đồng thời đóng vai trò cốt lõi trong phương trình vi phân, phân tích thành phần chính (PCA), phân tích dao động và cơ học lượng tử.
Cách sử dụng
Nhập bốn phần tử của ma trận — a (góc trên bên trái), b (góc trên bên phải), c (góc dưới bên trái) và d (góc dưới bên phải) — sau đó đọc kết quả gồm hai trị riêng và một vectơ riêng đại diện cho mỗi trị riêng. Lưu ý rằng vectơ riêng chỉ được xác định sai khác một hằng số nhân, nên mọi bội số khác không của kết quả đều đúng như nhau.
Giải thích công thức
Các trị riêng là nghiệm của phương trình đặc trưng \(\det(A - \lambda I) = 0\), khai triển ra thành \(\lambda^2 - (a+d)\lambda + (ad-bc) = 0\). Áp dụng công thức nghiệm phương trình bậc hai, ta được
$$\lambda_{1,2} = \frac{(a+d) \pm \sqrt{(a+d)^2 - 4(ad-bc)}}{2}$$Với mỗi \(\lambda\), ta giải hệ \((A - \lambda I)v = 0\); một vectơ riêng tiện dùng là \(v = (b,\; \lambda - a)\), hoặc \(v = (\lambda - d,\; c)\) khi \(b = 0\).
Ví dụ minh họa
Xét A = [[2, 1], [1, 2]]. Vết (trace) = 4, định thức = \(4 - 1 = 3\), biệt thức = \(16 - 12 = 4\). Vậy \(\lambda = (4 \pm 2)/2 = 3\) và \(1\). Với \(\lambda_1 = 3\): \(v = (b, \lambda-a) = (1, 1)\). Với \(\lambda_2 = 1\): \(v = (1, -1)\). Đây chính là các phương đường chéo quen thuộc của một ma trận đối xứng.
Câu hỏi thường gặp
Vì sao vectơ riêng của tôi khác với trong sách giáo khoa? Vectơ riêng chỉ duy nhất sai khác một hệ số tỉ lệ, nên (1, 1) và (2, 2) thực ra cùng mô tả một vectơ riêng.
Nếu biệt thức âm thì sao? Khi đó ma trận có các trị riêng phức (liên hợp với nhau); máy tính sẽ báo phần thực chung của chúng và đánh dấu trường hợp số phức.
Công cụ có dùng được cho ma trận đường chéo không? Có — khi \(b = c = 0\), các vectơ cơ sở chuẩn (1, 0) và (0, 1) chính là các vectơ riêng.
