¿Qué es la calculadora de autovectores 2×2?
Esta herramienta calcula los autovalores (valores propios) y los autovectores (vectores propios) de cualquier matriz 2×2 \(A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\). Un autovector \(v\) es un vector no nulo que la matriz se limita a estirar o contraer: \(Av = \lambda v\), donde el escalar \(\lambda\) es su autovalor. Los autovectores revelan los ejes naturales de una transformación lineal y son fundamentales en las ecuaciones diferenciales, el análisis de componentes principales, el estudio de vibraciones y la mecánica cuántica.
Cómo utilizarla
Introduce los cuatro elementos de la matriz —a (arriba a la izquierda), b (arriba a la derecha), c (abajo a la izquierda) y d (abajo a la derecha)— y obtendrás los dos autovalores junto con un autovector representativo de cada uno. Los autovectores solo están definidos salvo un múltiplo escalar, así que cualquier múltiplo no nulo del resultado es igual de válido.
La fórmula explicada
Los autovalores son las soluciones de la ecuación característica \(\det(A - \lambda I) = 0\), que se desarrolla como \(\lambda^2 - (a+d)\lambda + (ad-bc) = 0\). Al resolverla con la fórmula general se obtiene $$\lambda = \frac{(a+d) \pm \sqrt{(a+d)^2 - 4(ad-bc)}}{2}.$$ Para cada \(\lambda\) resolvemos \((A - \lambda I)v = 0\); un autovector cómodo es \(v = (b,\; \lambda - a)\), o bien \(v = (\lambda - d,\; c)\) cuando \(b = 0\).
Ejemplo resuelto
Tomemos \(A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}\). La traza \(= 4\), el determinante \(= 4 - 1 = 3\) y el discriminante \(= 16 - 12 = 4\). Por tanto \(\lambda = (4 \pm 2)/2 = 3\) y \(1\). Para \(\lambda_1 = 3\): \(v = (b,\; \lambda - a) = (1,\; 1)\). Para \(\lambda_2 = 1\): \(v = (1,\; -1)\). Estas son las conocidas direcciones diagonales de una matriz simétrica.
Preguntas frecuentes
¿Por qué mis autovectores no coinciden con los del libro de texto? Los autovectores solo son únicos salvo un factor de escala, así que \((1, 1)\) y \((2, 2)\) describen exactamente el mismo autovector.
¿Qué ocurre si el discriminante es negativo? La matriz tiene autovalores complejos (conjugados); esta calculadora muestra su parte real común y avisa de que se trata del caso complejo.
¿Funciona con una matriz diagonal? Sí. Cuando \(b = c = 0\), los vectores de la base estándar \((1, 0)\) y \((0, 1)\) son los autovectores.
