2×2 आइगेनवेक्टर कैलकुलेटर क्या है?
यह टूल किसी भी 2×2 मैट्रिक्स \(A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\) के आइगेनवैल्यू (eigenvalues) और आइगेनवेक्टर (eigenvectors) निकालता है। आइगेनवेक्टर v एक ऐसा शून्येतर (non-zero) वेक्टर होता है जिसे मैट्रिक्स केवल खींचता या सिकोड़ता है: \(Av = \lambda v\), जहाँ अदिश (scalar) \(\lambda\) उसका आइगेनवैल्यू कहलाता है। आइगेनवेक्टर किसी रैखिक रूपांतरण (linear transformation) की प्राकृतिक धुरियों को उजागर करते हैं और अवकल समीकरण (differential equations), मुख्य घटक विश्लेषण (PCA), कंपन विश्लेषण तथा क्वांटम यांत्रिकी में बेहद अहम हैं।
इसका इस्तेमाल कैसे करें
मैट्रिक्स की चारों प्रविष्टियाँ भरें — a (ऊपर-बाएँ), b (ऊपर-दाएँ), c (नीचे-बाएँ) और d (नीचे-दाएँ) — फिर दोनों आइगेनवैल्यू और हर एक के लिए एक प्रतिनिधि आइगेनवेक्टर देखें। ध्यान रहे, आइगेनवेक्टर केवल किसी अदिश गुणक तक ही परिभाषित होते हैं, यानी परिणाम का कोई भी शून्येतर गुणज भी उतना ही सही है।
सूत्र की व्याख्या
आइगेनवैल्यू अभिलक्षणिक समीकरण (characteristic equation) \(\det(A - \lambda I) = 0\) को हल करते हैं, जो विस्तार पाकर \(\lambda^2 - (a+d)\lambda + (ad-bc) = 0\) बन जाता है। द्विघात सूत्र (quadratic formula) से हल करने पर मिलता है
$$\lambda_{1,2} = \frac{(a+d) \pm \sqrt{(a+d)^2 - 4(ad - bc)}}{2}$$हर \(\lambda\) के लिए हम \((A - \lambda I)v = 0\) हल करते हैं; एक सुविधाजनक आइगेनवेक्टर है \(v = (b,\; \lambda - a)\), या जब \(b = 0\) हो तो \(v = (\lambda - d,\; c)\)।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए \(A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}\)। ट्रेस = 4, सारणिक (determinant) = \(4 - 1 = 3\), विविक्तकर (discriminant) = \(16 - 12 = 4\)। तो \(\lambda = (4 \pm 2)/2 = 3\) और \(1\)। \(\lambda_1 = 3\) के लिए: \(v = (b,\; \lambda - a) = (1,\; 1)\)। \(\lambda_2 = 1\) के लिए: \(v = (1,\; -1)\)। ये किसी सममित (symmetric) मैट्रिक्स की वही जानी-पहचानी विकर्ण दिशाएँ हैं।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
मेरे आइगेनवेक्टर पाठ्यपुस्तक से अलग क्यों हैं? आइगेनवेक्टर केवल मापन (scaling) तक ही अद्वितीय होते हैं, इसलिए \((1, 1)\) और \((2, 2)\) एक ही आइगेनवेक्टर को दर्शाते हैं।
अगर विविक्तकर ऋणात्मक हो तो? तब मैट्रिक्स के आइगेनवैल्यू सम्मिश्र (संयुग्म) यानी complex (conjugate) होते हैं; यह कैलकुलेटर उनका साझा वास्तविक भाग बताता है और सम्मिश्र स्थिति को चिह्नित कर देता है।
क्या यह विकर्ण (diagonal) मैट्रिक्स के लिए काम करता है? हाँ — जब \(b = c = 0\) हो, तब मानक आधार वेक्टर \((1, 0)\) और \((0, 1)\) ही आइगेनवेक्टर होते हैं।
