2×2 고유벡터 계산기란?
이 도구는 임의의 2×2 행렬 \(A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\)에 대한 고유값(eigenvalue)과 고유벡터(eigenvector)를 구해 줍니다. 고유벡터 \(v\)는 행렬이 단지 늘이거나 줄이기만 하는 0이 아닌 벡터로, \(Av = \lambda v\)를 만족합니다. 여기서 스칼라 \(\lambda\)가 바로 그 고유값입니다. 고유벡터는 선형 변환의 고유한 축(방향)을 드러내며, 미분방정식, 주성분 분석(PCA), 진동 해석, 양자역학 등에서 핵심적인 역할을 합니다.
사용 방법
행렬의 네 성분을 입력하세요 — a(좌상단), b(우상단), c(좌하단), d(우하단) — 그러면 두 개의 고유값과 각 고유값에 대응하는 대표 고유벡터를 바로 확인할 수 있습니다. 고유벡터는 스칼라 배만큼의 자유도를 가지므로, 결과에 0이 아닌 어떤 수를 곱하더라도 모두 똑같이 유효한 고유벡터입니다.
공식 풀이
고유값은 특성방정식 \(\det(A - \lambda I) = 0\)을 풀어서 얻으며, 이를 전개하면 \(\lambda^2 - (a+d)\lambda + (ad-bc) = 0\)이 됩니다. 근의 공식으로 풀면 다음과 같습니다.
$$\lambda_{1,2} = \frac{(a+d) \pm \sqrt{(a+d)^2 - 4(a\,d - b\,c)}}{2}$$각 \(\lambda\)에 대해 \((A - \lambda I)v = 0\)을 풀면 되는데, 편리한 고유벡터는 \(v = (b,\; \lambda - a)\)이며, \(b = 0\)인 경우에는 \(v = (\lambda - d,\; c)\)를 사용합니다.
$$\left\{ \begin{aligned} v_i &= \left(b,\; \lambda_i - a\right) \\ \text{or } v_i &= \left(\lambda_i - d,\; c\right) \end{aligned} \right.$$
예제 풀이
\(A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}\)를 예로 들어 봅시다. 대각합(trace) \(= 4\), 행렬식(determinant) \(= 4 - 1 = 3\), 판별식 \(= 16 - 12 = 4\)입니다. 따라서 \(\lambda = (4 \pm 2)/2 = 3\)과 \(1\)이 됩니다. \(\lambda_1 = 3\)일 때: \(v = (b,\; \lambda - a) = (1,\; 1)\). \(\lambda_2 = 1\)일 때: \(v = (1,\; -1)\). 이는 대칭 행렬에서 흔히 나타나는 대각선 방향들입니다.
자주 묻는 질문
제 고유벡터가 교과서와 다른데요? 고유벡터는 스칼라 배만큼의 차이를 제외하면 유일합니다. 따라서 \((1, 1)\)과 \((2, 2)\)는 같은 고유벡터를 나타냅니다.
판별식이 음수이면 어떻게 되나요? 행렬이 복소(켤레) 고유값을 가지게 됩니다. 이 계산기는 이때 공통된 실수부를 알려주고 복소수 경우임을 표시합니다.
대각 행렬에서도 작동하나요? 네 — \(b = c = 0\)일 때 표준기저 벡터 \((1, 0)\)과 \((0, 1)\)이 고유벡터가 됩니다.
