Qu'est-ce que le calculateur de vecteurs propres 2×2 ?
Cet outil détermine les valeurs propres et les vecteurs propres de n'importe quelle matrice 2×2 \(A = [[a, b], [c, d]]\). Un vecteur propre \(v\) est un vecteur non nul que la matrice se contente d'étirer ou de contracter : \(Av = \lambda v\), où le scalaire \(\lambda\) est sa valeur propre. Les vecteurs propres révèlent les axes naturels d'une transformation linéaire et jouent un rôle clé en équations différentielles, en analyse en composantes principales (ACP), en étude des vibrations et en mécanique quantique.
Comment l'utiliser
Saisissez les quatre coefficients de la matrice — \(a\) (en haut à gauche), \(b\) (en haut à droite), \(c\) (en bas à gauche) et \(d\) (en bas à droite) — puis lisez les deux valeurs propres ainsi qu'un vecteur propre représentatif pour chacune. Un vecteur propre n'est défini qu'à un facteur scalaire près : tout multiple non nul du résultat est donc tout aussi valable.
La formule expliquée
Les valeurs propres sont les solutions de l'équation caractéristique \(\det(A - \lambda I) = 0\), qui se développe en \(\lambda^2 - (a+d)\lambda + (ad-bc) = 0\). En appliquant la formule du discriminant, on obtient
$$\lambda_{1,2} = \frac{(a+d) \pm \sqrt{(a+d)^2 - 4(ad-bc)}}{2}$$Pour chaque \(\lambda\), on résout \((A - \lambda I)v = 0\) ; un vecteur propre pratique est \(v = (b,\ \lambda - a)\), ou bien \(v = (\lambda - d,\ c)\) lorsque \(b = 0\).
Exemple détaillé
Prenons \(A = [[2, 1], [1, 2]]\). Trace \(= 4\), déterminant \(= 4 - 1 = 3\), discriminant \(= 16 - 12 = 4\). On a donc
$$\lambda = \frac{4 \pm 2}{2} = 3 \text{ et } 1$$Pour \(\lambda_1 = 3\) : \(v = (b,\ \lambda - a) = (1, 1)\). Pour \(\lambda_2 = 1\) : \(v = (1, -1)\). Ce sont les directions diagonales bien connues d'une matrice symétrique.
FAQ
Pourquoi mes vecteurs propres diffèrent-ils de ceux du manuel ? Un vecteur propre n'est unique qu'à un facteur d'échelle près : \((1, 1)\) et \((2, 2)\) décrivent donc le même vecteur propre.
Et si le discriminant est négatif ? La matrice possède des valeurs propres complexes (conjuguées) ; le calculateur indique leur partie réelle commune et signale ce cas complexe.
Fonctionne-t-il pour une matrice diagonale ? Oui — lorsque \(b = c = 0\), les vecteurs de la base canonique \((1, 0)\) et \((0, 1)\) sont les vecteurs propres.
