什麼是 3×3 矩陣乘法？
矩陣乘法是把兩個矩陣結合成一個乘積矩陣的運算。對於兩個 3×3 矩陣 A 與 B，乘積 C = A × B 同樣是一個 3×3 矩陣。C 中的每個元素，都是由 A 的某一列與 B 的某一行做「點積（內積）」得到的。矩陣乘法是線性代數的核心，也廣泛應用於電腦繪圖、物理與工程領域——舉凡座標變換、旋轉、解聯立方程組等都會用到。
計算機使用方式
在第一個 3×3 表格中輸入矩陣 A 的九個數字，接著在第二個表格輸入矩陣 B 的九個數字，按下計算，工具就會回傳完整的 3×3 乘積矩陣 C。系統支援小數與負數輸入。請特別注意：矩陣乘法不具交換律，A × B 通常不會等於 B × A。
公式解析
乘積矩陣中第 i 列、第 j 行的元素為：
$$C_{ij} = A_{i1} \cdot B_{1j} + A_{i2} \cdot B_{2j} + A_{i3} \cdot B_{3j}$$白話來說：沿著 A 的第 i 列橫向掃過，同時沿著 B 的第 j 行縱向往下，把對應的元素相乘，再把這三個乘積加起來。對全部九個位置重複這個步驟，就能填滿整個乘積矩陣。
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實際範例
設 A = [[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]]，B 為單位矩陣 [[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]]。任何矩陣乘上單位矩陣都會得到原矩陣本身，因此 C = A。例如 $$C_{11} = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 0 + 3 \cdot 0 = 1$$ 而 $$C_{23} = 4 \cdot 0 + 5 \cdot 0 + 6 \cdot 1 = 6$$
如何手工相乘 3×3 矩陣
- 檢查維度。 乘積 \(A\times B\) 僅在 \(A\) 的列數等於 \(B\) 的行數時定義。對於兩個 3×3 矩陣，這自動滿足，結果 \(C\) 也是 3×3。
- 選擇目標元素 \(C_{ij}\)。 選擇結果的第 \(i\) 行（1、2 或 3）和第 \(j\) 列（1、2 或 3）以填入。
- 選擇 \(A\) 的第 \(i\) 行和 \(B\) 的第 \(j\) 列。 你將把 \(A\) 該行中的三個數與 \(B\) 該列中的三個數組合在一起。
- 相乘配對的元素。 將第一個與第一個、第二個與第二個、第三個與第三個配對：\(a_{i1}b_{1j}\)、\(a_{i2}b_{2j}\) 和 \(a_{i3}b_{3j}\)。
- 將三個乘積相加。 將它們相加得到單個元素：\(C_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+a_{i3}b_{3j}\)。這正是該行與該列的點積。
- 對所有九個位置重複。 對 \(i=1,2,3\) 和 \(j=1,2,3\) 的每個組合都進行操作——總共九個點積，每個都使用三次乘法和兩次加法。
- 組裝乘積矩陣。 將每個 \(C_{ij}\) 放入其第 \(i\) 行、第 \(j\) 列的位置，形成最終的 3×3 矩陣 \(C\)。涉及負元素時要小心地追蹤符號。
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關鍵術語與定義
- 矩陣
- 排列成行和列的數字的矩形陣列；3×3 矩陣有三行三列（九個元素）。
- 元素 / 項
- 矩陣中的單個數字，記為 \(a_{ij}\)，其中 \(i\) 是其行，\(j\) 是其列。
- 行
- 一條水平的元素線。3×3 矩陣的第 \(i\) 行是 \((a_{i1}, a_{i2}, a_{i3})\)。
- 列
- 一條垂直的元素線。第 \(j\) 列是 \((a_{1j}, a_{2j}, a_{3j})\)。
- 點積
- 兩個等長列表的配對分量乘積的和：\(\sum_k a_k b_k\)。每個乘積元素 \(C_{ij}\) 是 \(A\) 的第 \(i\) 行與 \(B\) 的第 \(j\) 列的點積。
- 乘積矩陣
- 結果 \(C = A\times B\)，其元素 \(C_{ij}\) 是 \(A\) 的第 \(i\) 行與 \(B\) 的第 \(j\) 列的點積。
- 單位矩陣
- 方陣 \(I\)，其主對角線上為 1，其他地方為 0。它滿足 \(A\times I = I\times A = A\)，對任何相容的 \(A\)。
- 交換律
- 如果運算的順序不重要，則運算是交換的。矩陣乘法通常不是交換的：通常 \(A\times B \neq B\times A\)。
- 相容 / 維度規則
- 兩個矩陣只有在第一個矩陣的列數等於第二個矩陣的行數時才能相乘。一個 \(m\times n\) 乘以一個 \(n\times p\) 矩陣產生一個 \(m\times p\) 的結果。
常見問題
A × B 會等於 B × A 嗎？不會。矩陣乘法不具交換律，把相乘的順序對調，通常會得到不同的結果。
可以把不同大小的矩陣相乘嗎？只有當第一個矩陣的行數等於第二個矩陣的列數時，兩個矩陣才能相乘。兩個 3×3 矩陣一定符合這個條件。
乘上單位矩陣會發生什麼事？單位矩陣就像數字 1 一樣——A × I = A，矩陣保持不變。
