什麼是 2×2 矩陣乘法？
矩陣乘法就是把兩個矩陣結合成一個乘積矩陣。對於兩個 2×2 矩陣 A 與 B 來說，乘積 \(C = A \cdot B\) 同樣是一個 2×2 矩陣。C 的每一個元素，都是取 A 的某一列與 B 的某一行，將對應位置的數字相乘後再加總而得——也就是所謂「列乘行」的內積運算。只要輸入 8 個數字，這個計算機就能幫你算出 C 的全部四個元素。
計算機怎麼用？
先依序填入矩陣 A 的四個元素（A₁₁、A₁₂、A₂₁、A₂₂），再以相同的逐列順序填入矩陣 B 的四個元素。按下計算後，工具會以 2×2 的格狀排版顯示乘積矩陣 C，同時列出每一個元素的數值。數字可以是正數、負數或小數。
公式詳解
對於 2×2 矩陣，計算規則如下：
$$c_{11} = a_{11}\cdot b_{11} + a_{12}\cdot b_{21}$$$$c_{12} = a_{11}\cdot b_{12} + a_{12}\cdot b_{22}$$$$c_{21} = a_{21}\cdot b_{11} + a_{22}\cdot b_{21}$$$$c_{22} = a_{21}\cdot b_{12} + a_{22}\cdot b_{22}$$一般而言，元素 \(c_{ij}\) 等於 \(a_{ik}\cdot b_{kj}\) 對所有 \(k\) 的總和。要特別注意：矩陣乘法不具有交換律，\(A \cdot B\) 通常不等於 \(B \cdot A\)。
範例演算
設 \(A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\)、\(B = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix}\)，則：
$$c_{11} = 1\cdot 5 + 2\cdot 7 = 19$$$$c_{12} = 1\cdot 6 + 2\cdot 8 = 22$$$$c_{21} = 3\cdot 5 + 4\cdot 7 = 43$$$$c_{22} = 3\cdot 6 + 4\cdot 8 = 50$$因此 \(C = \begin{bmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{bmatrix}\)。
更多已解決的例子
每個乘積 \(C = A \cdot B\) 是透過將 \(A\) 的一列與 \(B\) 的一行進行點乘得到的。項目 \(C_{ij}\) 使用 \(A\) 的第 \(i\) 列和 \(B\) 的第 \(j\) 行：\(C_{ij} = A_{i1}B_{1j} + A_{i2}B_{2j}\)。
例 1 — 負數和小數項目
設 \(A = \begin{bmatrix} -2 & 1.5 \\ 0.5 & -3 \end{bmatrix}\) 且 \(B = \begin{bmatrix} 4 & -1 \\ 2 & 0.5 \end{bmatrix}\)。
- \(C_{11} = (-2)(4) + (1.5)(2) = -8 + 3 = -5\)
- \(C_{12} = (-2)(-1) + (1.5)(0.5) = 2 + 0.75 = 2.75\)
- \(C_{21} = (0.5)(4) + (-3)(2) = 2 - 6 = -4\)
- \(C_{22} = (0.5)(-1) + (-3)(0.5) = -0.5 - 1.5 = -2\)
因此 \(C = \begin{bmatrix} -5 & 2.75 \\ -4 & -2 \end{bmatrix}\)。左上角項目是 -5。
例 2 — 乘以單位矩陣
設 \(A = \begin{bmatrix} 7 & -2 \\ 3 & 5 \end{bmatrix}\) 且 \(I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\)。任何矩陣乘以單位矩陣都會返回原始矩陣。
- \(C_{11} = (7)(1) + (-2)(0) = 7 + 0 = 7\)
- \(C_{12} = (7)(0) + (-2)(1) = 0 - 2 = -2\)
- \(C_{21} = (3)(1) + (5)(0) = 3 + 0 = 3\)
- \(C_{22} = (3)(0) + (5)(1) = 0 + 5 = 5\)
因此 \(A \cdot I = \begin{bmatrix} 7 & -2 \\ 3 & 5 \end{bmatrix} = A\)，確認 \(I\) 作為乘法單位元的作用。
例 3 — 證明 \(A \cdot B \neq B \cdot A\)
設 \(A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\) 且 \(B = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 5 & 6 \end{bmatrix}\)。
首先，\(A \cdot B\)：
- \(C_{11} = (1)(0) + (2)(5) = 0 + 10 = 10\)
- \(C_{12} = (1)(1) + (2)(6) = 1 + 12 = 13\)
- \(C_{21} = (3)(0) + (4)(5) = 0 + 20 = 20\)
- \(C_{22} = (3)(1) + (4)(6) = 3 + 24 = 27\)
\(A \cdot B = \begin{bmatrix} 10 & 13 \\ 20 & 27 \end{bmatrix}\)；左上角項目是 10。
現在反向順序，\(B \cdot A\)：
- \(C_{11} = (0)(1) + (1)(3) = 0 + 3 = 3\)
- \(C_{12} = (0)(2) + (1)(4) = 0 + 4 = 4\)
- \(C_{21} = (5)(1) + (6)(3) = 5 + 18 = 23\)
- \(C_{22} = (5)(2) + (6)(4) = 10 + 24 = 34\)
\(B \cdot A = \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 23 & 34 \end{bmatrix}\)；左上角項目是 3。
由於 \(\begin{bmatrix} 10 & 13 \\ 20 & 27 \end{bmatrix} \neq \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 23 & 34 \end{bmatrix}\)，矩陣乘法不滿足交換律：因子的順序很重要。
定義與詞彙表
- 矩陣
- 以括號形式書寫的按列和列排列的數字矩形陣列。其大小以（行）×（列）表示。
- 2×2 矩陣
- 具有兩列和兩行的正方形矩陣，恰好包含四個項目：\(\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}\)。
- 項目 / 元素 (\(a_{ij}\))
- 矩陣內的單一數字。下標符號 \(a_{ij}\) 確認其位置：\(i\) 是列號，\(j\) 是行號。例如，\(a_{21}\) 是第 2 列第 1 行的項目。
- 列
- 項目的水平線。在 2×2 矩陣中，第 1 列是 \([a_{11}\ \ a_{12}]\)，第 2 列是 \([a_{21}\ \ a_{22}]\)。
- 行
- 項目的垂直線。在 2×2 矩陣中，第 1 行是 \(\begin{bmatrix} a_{11} \\ a_{21} \end{bmatrix}\)，第 2 行是 \(\begin{bmatrix} a_{12} \\ a_{22} \end{bmatrix}\)。
- 點乘
- 列和行的相應項目的成對乘積之和。乘積矩陣的每個項目是 \(A\) 的一列與 \(B\) 的一行的點乘，例如 \(C_{11} = A_{11}B_{11} + A_{12}B_{21}\)。
- 乘積矩陣 \(C\)
- 兩個矩陣相乘的結果，\(C = A \cdot B\)。對於 2×2 矩陣，\(C\) 也是 2×2，每個項目 \(C_{ij}\) 由 \(A\) 的第 \(i\) 列和 \(B\) 的第 \(j\) 行構成。
- 單位矩陣 (\(I\))
- 主對角線上為 1，其他地方為 0 的正方形矩陣。2×2 單位矩陣是 \(I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\)。它滿足 \(A \cdot I = I \cdot A = A\)，在乘法中的作用類似於數字 1。
- 交換律
- 運算元的順序不改變結果的性質（例如 \(2 \times 3 = 3 \times 2\)）。矩陣乘法一般不滿足交換律：通常 \(A \cdot B \neq B \cdot A\)，所以左因子和右因子必須按指定順序保持。
常見問題
A·B 和 B·A 結果一樣嗎？不一樣。矩陣乘法通常不滿足交換律，所以相乘的順序很重要。
不同大小的矩陣可以相乘嗎？只有當第一個矩陣的「行數（直行數）」等於第二個矩陣的「列數（橫列數）」時，兩個矩陣才能相乘。兩個 2×2 矩陣一定符合這個條件。
什麼是單位矩陣？2×2 的單位矩陣是 \(\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\)。任何矩陣乘上單位矩陣後都維持不變。
