矩陣乘法計算機

輸入計算

矩陣維度：A 為 2×2、B 為 2×2（結果為 2×2）

A₁₁

A₁₂

A₂₁

A₂₂

B₁₁

B₁₂

B₂₁

B₂₂

結果

乘積矩陣 AB

19

22

43

50

2×2 結果矩陣

C₁₁	19
C₁₂	22
C₂₁	43
C₂₂	50

什麼是矩陣乘法？

矩陣乘法是把兩個矩陣結合成單一乘積矩陣的運算。以兩個 2×2 矩陣 A 與 B 為例，乘積 AB 同樣是一個 2×2 矩陣，其中每一個元素都是以 A 的某一「列」對應 B 的某一「行」逐項相乘後再加總而得，也就是所謂「列乘行」的內積法則。這個計算機專門處理線性代數、電腦圖學與物理中最常見的 2×2 情境。

如何使用本計算機

先輸入矩陣 A 的四個數值（A₁₁、A₁₂、A₂₁、A₂₂），再輸入矩陣 B 的四個數值（B₁₁、B₁₂、B₂₁、B₂₂）。按下計算後，工具便會回傳完整的 2×2 乘積矩陣 AB。小數與負數皆完全支援。

公式說明

一般通則為 \((AB)_{ij} = \sum_{k} A_{ik} \times B_{kj}\)。對 2×2 矩陣而言，可展開成下列四條算式：

$$\left\{ \begin{aligned} C_{11} &= A_{11}B_{11} + A_{12}B_{21} \\ C_{12} &= A_{11}B_{12} + A_{12}B_{22} \\ C_{21} &= A_{21}B_{11} + A_{22}B_{21} \\ C_{22} &= A_{21}B_{12} + A_{22}B_{22} \end{aligned} \right.$$

請特別注意：矩陣乘法一般不具交換律，在多數情況下 \(AB \neq BA\)。

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乘積中的每個元素都由 A 的一列與 B 的一行組合而成。

範例演算

設 \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\)，\(B = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}\)。

$$\begin{aligned} C_{11} &= 1 \times 5 + 2 \times 7 = 5 + 14 = \textbf{19} \\ C_{12} &= 1 \times 6 + 2 \times 8 = 6 + 16 = \textbf{22} \\ C_{21} &= 3 \times 5 + 4 \times 7 = 15 + 28 = \textbf{43} \\ C_{22} &= 3 \times 6 + 4 \times 8 = 18 + 32 = \textbf{50} \end{aligned}$$

因此 \(AB = \begin{pmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{pmatrix}\)。

2×2 乘法詳解：結果中的每個格子都是兩個乘積之和。

常見問題

矩陣乘法具有交換律嗎？沒有。一般而言 \(AB \neq BA\)，所以矩陣的前後順序很重要。

哪些尺寸的矩陣可以相乘？A 的「行數（直行數）」必須等於 B 的「列數（橫列數）」。本工具專注於 2×2 乘以 2×2 的運算，結果必定也是 2×2 矩陣。

可以輸入負數或小數嗎？可以。任何實數都接受，包含負數與小數。