什麼是矩陣的跡？
方陣的跡（trace），就是主對角線上所有元素的總和——也就是從左上角一路延伸到右下角的那些元素相加。數學上記作 \(\operatorname{tr}(A)\)。跡只在方陣（列數與行數相同）上才有定義，是線性代數中最實用的「以單一數字概括整個矩陣」的指標之一。
如何使用這個計算器
先選擇矩陣的大小（2×2、3×3 或 4×4），接著只要輸入對角線上的元素 \(\text{A}_{11}\)、\(\text{A}_{22}\)、……即可。由於跡只取決於對角線，非對角線的數字完全不影響結果，因此你不需要輸入它們。計算器會立刻回傳總和。
公式解析
對於一個 \(n \times n\) 的矩陣 \(A\)，其跡為：
$$\operatorname{tr}(A) = \text{A}_{11} + \text{A}_{22} + \dots + \text{A}_{nn} = \sum_i \text{A}_{ii}$$
做法很簡單：沿著對角線一路往下，把每個元素加起來，最後得到一個純量（單一數值）。
範例演算
假設有一個 3×3 矩陣，對角線元素分別是 4、−2 和 7（非對角線的值可以是任何數）。那麼 $$\operatorname{tr}(A) = 4 + (-2) + 7 = \mathbf{9}.$$ 就這麼簡單——無論矩陣其他位置的元素是什麼，跡都是 9。
常見問題
非方陣也能求跡嗎？不行。跡只在方陣上才有定義，因為對角線元素 \(\text{A}_{ii}\) 要求列數與行數必須相等。
跡為什麼這麼重要？它等於矩陣所有特徵值的總和，在相似變換下保持不變，並且廣泛出現在統計學、物理學與機器學習之中。
\(\operatorname{tr}(A + B)\) 是否等於 \(\operatorname{tr}(A) + \operatorname{tr}(B)\)？是的——跡具有線性性質，所以兩矩陣相加後的跡等於各自跡的總和，而且對任意純量 \(c\)，皆有 \(\operatorname{tr}(cA) = c \cdot \operatorname{tr}(A)\)。
