मैट्रिक्स ट्रेस कैलकुलेटर

गणना दर्ज करें

मैट्रिक्स का आकार (n × n) 2 × 2 3 × 3 4 × 4

विकर्ण के तत्व दर्ज करें (ऊपरी-बाएँ से निचले-दाएँ तक)। विकर्ण के बाहर के तत्व ट्रेस को प्रभावित नहीं करते।

A₁₁

A₂₂

A₃₃

A₄₄

परिणाम

मैट्रिक्स A का ट्रेस

6

tr(A) = विकर्ण के तत्वों का योग

मैट्रिक्स का आकार	3 × 3

मैट्रिक्स ट्रेस क्या होता है?

किसी वर्ग मैट्रिक्स का ट्रेस उसके मुख्य विकर्ण पर मौजूद तत्वों का योग होता है — यानी ऊपरी-बाएँ कोने से लेकर निचले-दाएँ कोने तक की रेखा पर पड़ने वाले अंक। इसे \(\operatorname{tr}(A)\) लिखा जाता है। ट्रेस केवल वर्ग मैट्रिक्स (जिसमें पंक्तियों और स्तंभों की संख्या बराबर हो) के लिए ही परिभाषित होता है, और रैखिक बीजगणित में यह किसी मैट्रिक्स को एक ही संख्या में समेटने वाले सबसे उपयोगी मापों में से एक है।

ट्रेस वर्ग मैट्रिक्स की हाइलाइट की गई मुख्य विकर्ण प्रविष्टियों को जोड़ता है।

इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

सबसे पहले अपने मैट्रिक्स का आकार चुनें (2×2, 3×3 या 4×4), फिर केवल विकर्ण के तत्व \(\text{A}_{11}\), \(\text{A}_{22}\), … दर्ज करें। चूँकि ट्रेस सिर्फ़ विकर्ण पर निर्भर करता है, इसलिए विकर्ण के बाहर वाले अंक मायने नहीं रखते और आपको उन्हें टाइप करने की ज़रूरत नहीं। कैलकुलेटर तुरंत योग दिखा देगा।

सूत्र की व्याख्या

किसी \(n\times n\) मैट्रिक्स \(A\) के लिए ट्रेस इस प्रकार है:

$$\operatorname{tr}(A) = \text{A}_{11} + \text{A}_{22} + \ldots + \text{A}_{nn} = \sum_i \text{A}_{ii}$$

आप बस विकर्ण के साथ-साथ नीचे की ओर चलते जाएँ और हर तत्व को जोड़ते जाएँ। परिणाम एक अकेली अदिश (scalar) संख्या होता है।

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\(\operatorname{tr}(A)\) हर उस प्रविष्टि को जोड़ता है जहाँ पंक्ति सूचकांक स्तंभ सूचकांक के बराबर होता है।

हल किया हुआ उदाहरण

मान लीजिए एक 3×3 मैट्रिक्स है जिसके विकर्ण के तत्व 4, −2 और 7 हैं (विकर्ण के बाहर के मान कुछ भी हो सकते हैं)। तब $$\operatorname{tr}(A) = 4 + (-2) + 7 = \mathbf{9}$$ बस इतना ही — मैट्रिक्स के बाकी सभी तत्व चाहे जो भी हों, ट्रेस 9 ही रहेगा।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

क्या ट्रेस गैर-वर्ग (non-square) मैट्रिक्स के लिए काम करता है? नहीं। ट्रेस केवल वर्ग मैट्रिक्स के लिए परिभाषित होता है, क्योंकि किसी विकर्ण तत्व \(\text{A}_{ii}\) के लिए पंक्तियों और स्तंभों की संख्या बराबर होनी चाहिए।

ट्रेस उपयोगी क्यों है? यह मैट्रिक्स के आइगेनमानों (eigenvalues) के योग के बराबर होता है, समानता रूपांतरण (similarity transformations) के तहत अपरिवर्तित रहता है, और सांख्यिकी, भौतिकी तथा मशीन लर्निंग में जगह-जगह सामने आता है।

क्या \(\operatorname{tr}(A + B) = \operatorname{tr}(A) + \operatorname{tr}(B)\) होता है? हाँ — ट्रेस रैखिक (linear) होता है, इसलिए किसी योग का ट्रेस उन ट्रेसों के योग के बराबर होता है, और किसी भी अदिश \(c\) के लिए \(\operatorname{tr}(cA) = c\cdot\operatorname{tr}(A)\) होता है।