행렬 대각합이란?
정사각행렬의 대각합(trace)은 주대각선 위에 있는 원소들의 합입니다. 주대각선이란 왼쪽 위 모서리에서 오른쪽 아래 모서리로 이어지는 원소들을 말하며, 대각합은 \(\operatorname{tr}(A)\)로 표기합니다. 대각합은 행과 열의 개수가 같은 정사각행렬에서만 정의되며, 선형대수에서 행렬을 하나의 수로 요약할 때 가장 유용하게 쓰이는 값 중 하나입니다.
계산기 사용법
먼저 행렬의 크기(2×2, 3×3, 4×4)를 선택한 뒤, 대각선 원소 \(\text{A}_{11}\), \(\text{A}_{22}\), … 만 입력하면 됩니다. 대각합은 오직 대각선 값에만 의존하기 때문에, 대각선 밖의 숫자는 결과에 전혀 영향을 주지 않으며 입력할 필요도 없습니다. 입력하는 즉시 합이 표시됩니다.
공식 풀이
n×n 행렬 A의 대각합은 다음과 같습니다.
$$\operatorname{tr}(A) = \text{A}_{11} + \text{A}_{22} + \dots + \text{A}_{nn} = \sum_i \text{A}_{ii}$$
대각선을 따라 내려가면서 각 원소를 차례대로 더해 주기만 하면 됩니다. 결과는 하나의 스칼라 값입니다.
예제로 익히기
대각선 원소가 각각 4, −2, 7인 3×3 행렬을 생각해 봅시다(대각선 밖 값은 무엇이든 상관없습니다). 그러면 $$\operatorname{tr}(A) = 4 + (-2) + 7 = 9$$ 가 됩니다. 행렬의 나머지 원소가 무엇이든, 대각합은 그대로 9입니다.
자주 묻는 질문
정사각행렬이 아니어도 대각합을 구할 수 있나요? 아니요. 대각선 원소 \(\text{A}_{ii}\)가 성립하려면 행과 열의 개수가 같아야 하므로, 대각합은 정사각행렬에서만 정의됩니다.
대각합은 어디에 쓰이나요? 대각합은 행렬의 고윳값(eigenvalue)들의 합과 같고, 닮음 변환(similarity transformation)에 대해 불변이며, 통계학·물리학·머신러닝 전반에서 두루 등장합니다.
\(\operatorname{tr}(A + B) = \operatorname{tr}(A) + \operatorname{tr}(B)\)가 성립하나요? 네. 대각합은 선형 연산이므로 합의 대각합은 각 대각합의 합과 같고, 임의의 스칼라 c에 대해 \(\operatorname{tr}(cA) = c \cdot \operatorname{tr}(A)\)도 성립합니다.
