Matris İzi (Trace) Nedir?
Kare bir matrisin izi (İngilizcesiyle trace), ana köşegeni üzerindeki elemanların toplamıdır; yani sol üst köşeden sağ alt köşeye doğru uzanan değerlerin toplamı. tr(A) şeklinde gösterilir. İz yalnızca kare matrisler (satır ve sütun sayısı eşit olan matrisler) için tanımlıdır ve doğrusal cebirde bir matrisi tek bir sayıyla özetlemenin en kullanışlı yollarından biridir.
Bu Hesaplama Aracı Nasıl Kullanılır?
Önce matrisinizin boyutunu seçin (2×2, 3×3 veya 4×4), ardından yalnızca köşegen elemanlarını (\(A_{11}\), \(A_{22}\), …) girin. İz tamamen köşegene bağlı olduğundan, köşegen dışındaki sayıların hiçbir önemi yoktur ve bunları girmenize gerek kalmaz. Araç toplamı anında hesaplar.
Formülün Açıklaması
\(n \times n\) boyutundaki bir A matrisi için iz şöyle hesaplanır:
$$\operatorname{tr}(A) = \text{A}_{11} + \text{A}_{22} + \dots + \text{A}_{nn} = \sum_i \text{A}_{ii}$$
Tek yapmanız gereken köşegen boyunca ilerleyip her elemanı toplamaktır. Sonuç tek bir skaler sayıdır.
Çözümlü Örnek
Köşegen elemanları 4, −2 ve 7 olan 3×3'lük bir matrisi ele alalım (köşegen dışındaki değerler ne olursa olsun fark etmez). Bu durumda $$\operatorname{tr}(A) = 4 + (-2) + 7 = \mathbf{9}$$ olur. İşte bu kadar; matristeki diğer tüm elemanlar ne olursa olsun iz 9'dur.
Sıkça Sorulan Sorular
İz, kare olmayan matrisler için hesaplanabilir mi? Hayır. İz yalnızca kare matrisler için tanımlıdır; çünkü bir \(\text{A}_{ii}\) köşegen elemanı, satır ve sütun sayılarının eşit olmasını gerektirir.
İz neden işe yarar? İz, matrisin özdeğerlerinin (eigenvalue) toplamına eşittir, benzerlik dönüşümleri altında değişmez kalır ve istatistik, fizik ile makine öğrenmesinde sıkça karşımıza çıkar.
\(\operatorname{tr}(A + B) = \operatorname{tr}(A) + \operatorname{tr}(B)\) eşitliği geçerli mi? Evet; iz doğrusaldır, dolayısıyla bir toplamın izi, izlerin toplamına eşittir ve herhangi bir c skaleri için \(\operatorname{tr}(cA) = c \cdot \operatorname{tr}(A)\) olur.
