Bu hesaplayıcı ne işe yarar?
Bu araç, herhangi bir gerçek n x m matris \(\text{A} = \{a_{ij}\}\) için en sık kullanılan dört matris normunu hesaplar: L1 normu (mutlak değerce en büyük sütun toplamı), L2 / spektral norm (en büyük tekil değer), Frobenius normu (tüm elemanların karelerinin toplamının karekökü) ve L-sonsuz normu (mutlak değerce en büyük satır toplamı). Matris normları, bir matrisin "büyüklüğünü" ve bir vektörü en fazla ne kadar gerebileceğini ölçer; bu yüzden sayısal lineer cebir, optimizasyon, makine öğrenmesi ve kararlılık analizinde vazgeçilmezdir. Bu tamamen matematiktir ve her yerde aynıdır.
Nasıl kullanılır?
Satır sayısını \(n\) ve sütun sayısını \(m\) belirleyin, ardından matrisi metin kutusuna her satırı bir alt satıra gelecek şekilde yazın; değerleri boşluk veya virgülle ayırın. Boş bırakılan hücreler 0 olarak kabul edilir. Görüntülenecek anlamlı basamak sayısını seçin ve dört normu birden okuyun. Her formül gerektiğinde mutlak değer kullandığı için negatif değerler otomatik olarak ele alınır.
Formüller açıklamasıyla
1-normu her sütundaki mutlak değerleri toplar ve en büyük toplamı seçer:
$$\|\text{A}\|_{1} = \max_{1 \le j \le m} \sum_{i=1}^{n} |a_{ij}|$$Sonsuz-normu aynısını her satır için yapar:
$$\|\text{A}\|_{\infty} = \max_{1 \le i \le n} \sum_{j=1}^{m} |a_{ij}|$$Frobenius normu, matrisi bir vektöre dönüştürüp Öklid uzunluğunu alır: tüm elemanların karelerinin toplamının karekökü:
$$\|\text{A}\|_{F} = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} a_{ij}^{2}}$$Spektral norm ise en büyük tekil değere \(\sigma_{\max}(\text{A})\) eşittir; bu değer, simetrik Gram matrisi A-transpoz çarpı A'nın en büyük özdeğerinin kareköküdür ve bu özdeğeri kuvvet iterasyonu (power iteration) ile elde ederiz:
$$\|\text{A}\|_{2} = \sigma_{\max}(\text{A}) = \sqrt{\lambda_{\max}\!\left(\text{A}^{\mathsf{T}}\text{A}\right)}$$Tamamı sıfırlardan oluşan bir matriste tüm normlar doğrudan 0 olur.
Çözümlü örnek
\(\text{A} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\) için: sütun toplamları 4 ve 6 olduğundan L1 normu 6'dır; satır toplamları 3 ve 7 olduğundan L-sonsuz normu 7'dir. Frobenius normu \(\sqrt{1+4+9+16} = \sqrt{30} = 5.4772255751\) olur. Gram matrisi \(\text{A}^{\mathsf{T}}\text{A} = \begin{bmatrix} 10 & 14 \\ 14 & 20 \end{bmatrix}\) olup özdeğerleri \(\lambda^{2} - 30\lambda + 4 = 0\) denklemini çözer; buradan \(\lambda_{\max} = 29.8660687473\) elde edilir, dolayısıyla spektral norm \(\sqrt{29.8660687473} = 5.4649857042\) olur.
Sıkça sorulan sorular
Spektral norm ile Frobenius normu aynı mıdır? Yalnızca rankı 1 olan matrisler (örneğin tek bir satır veya sütun vektörü) için aynıdır. Genel olarak \(\|\text{A}\|_{2}\), \(\|\text{A}\|_{F}\)'ye eşit veya ondan küçüktür; \(\|\text{A}\|_{F}\) ise en fazla \(\sqrt{\text{rank}}\) çarpı \(\|\text{A}\|_{2}\) kadardır.
Karmaşık (kompleks) matrislerde durum nedir? Mutlak değer içeren kısımlarda her elemanı genliğiyle değiştirin ve spektral norm için eşlenik transpozu (conjugate transpose) kullanın. Bu hesaplayıcı gerçek matrisler içindir.
Neden L1 normu sütunları, L-sonsuz normu satırları kullanıyor? Bunlar sırasıyla L1 ve L-sonsuz vektör normlarından türeyen indüklenmiş (operatör) normlardır ve sonuçta en büyük sütun ve satır toplamlarına karşılık gelirler.
