ماذا تفعل هذه الحاسبة
تحسب هذه الأداة أربعة من أكثر معايير المصفوفات استخدامًا لأي مصفوفة حقيقية n×m حيث \(A = \{a_{ij}\}\): معيار L1 (أكبر مجموع للقيم المطلقة في عمود)، ومعيار L2 / الطيفي (أكبر قيمة مفردة)، ومعيار فروبينيوس (الجذر التربيعي لمجموع مربعات كل العناصر)، ومعيار L-اللانهائي (أكبر مجموع للقيم المطلقة في صف). تقيس معايير المصفوفة «حجم» المصفوفة وأقصى عامل يمكن أن تمدّ به متجهًا، مما يجعلها أساسية في الجبر الخطي العددي، والأمثلة (التحسين)، وتعلّم الآلة، وتحليل الاستقرار. هذا علم رياضيات بحت وهو واحد في كل مكان.
كيفية الاستخدام
حدّد عدد الصفوف (\(n\)) وعدد الأعمدة (\(m\))، ثم اكتب المصفوفة في مربع النص بمعدل صف واحد في كل سطر، مع الفصل بين العناصر بمسافات أو فواصل. تُعامَل أي خانة فارغة على أنها 0. اختر عدد الأرقام المعنوية المراد عرضها، ثم اقرأ المعايير الأربعة جميعها. تُعالَج القيم السالبة تلقائيًا لأن كل صيغة تستخدم القيم المطلقة حيثما تطلّب الأمر.
شرح الصيغ
معيار الـ 1 يجمع القيم المطلقة عبر كل عمود ويحتفظ بأكبر مجموع. ومعيار اللانهاية يفعل الشيء نفسه عبر كل صف. أما معيار فروبينيوس فيفرد المصفوفة إلى متجه ويأخذ طوله الإقليدي: الجذر التربيعي لمجموع مربعات كل عنصر. ويساوي المعيار الطيفي أكبر قيمة مفردة \(\sigma_{\max}(\text{A})\)، ويُحسب بالجذر التربيعي لأكبر قيمة ذاتية لمصفوفة غرام المتماثلة A المنقولة × A؛ ونحصل على هذه القيمة الذاتية عبر التكرار الأُسّي. وأي مصفوفة كل عناصرها أصفار تجعل كل المعايير تساوي 0 مباشرةً.
$$\|\text{A}\|_{1} = \max_{1 \le j \le m} \sum_{i=1}^{n} |a_{ij}|$$$$\|\text{A}\|_{\infty} = \max_{1 \le i \le n} \sum_{j=1}^{m} |a_{ij}|$$$$\|\text{A}\|_{F} = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} a_{ij}^{2}}$$$$\|\text{A}\|_{2} = \sigma_{\max}(\text{A}) = \sqrt{\lambda_{\max}\!\left(\text{A}^{\mathsf{T}}\text{A}\right)}$$
مثال محلول
لتكن \(A = [[1, 2], [3, 4]]\): مجاميع الأعمدة هي 4 و6، فمعيار L1 يساوي 6؛ ومجاميع الصفوف هي 3 و7، فمعيار L-اللانهائي يساوي 7. ومعيار فروبينيوس هو $$\sqrt{1+4+9+16} = \sqrt{30} = 5.4772255751.$$ ومصفوفة غرام A المنقولة × A \(= [[10,14],[14,20]]\) لها قيم ذاتية تحقق المعادلة \(\lambda^2 - 30\lambda + 4 = 0\)، فينتج \(\lambda_{\max} = 29.8660687473\)، ومن ثَمّ يكون المعيار الطيفي هو $$\sqrt{29.8660687473} = 5.4649857042.$$
الأسئلة الشائعة
هل المعيار الطيفي هو نفسه معيار فروبينيوس؟ فقط للمصفوفات ذات الرتبة 1 (مثل متجه صف واحد أو عمود واحد). وعمومًا يكون \(\text{norm}_2\) أصغر من أو يساوي \(\text{norm}_F\)، الذي لا يتجاوز \(\sqrt{\text{الرتبة}}\) مضروبًا في \(\text{norm}_2\).
وماذا عن المصفوفات المركّبة؟ استبدل كل عنصر بمقياسه (مقداره) في أجزاء القيمة المطلقة، واستخدم المنقول المرافق للمعيار الطيفي. هذه الحاسبة مخصّصة للمصفوفات الحقيقية.
لماذا يستخدم معيار L1 الأعمدة ويستخدم L-اللانهائي الصفوف؟ لأن هذين معياران محرَّضان (معيارا مؤثّر) من معياري المتجهات L1 وL-اللانهائي، ويؤولان إلى أكبر مجموع عمود وأكبر مجموع صف على التوالي.
