ما هي حاسبة محدِّد المصفوفة n×n؟
تحسب هذه الأداة محدِّد \(\det(A)\) لأي مصفوفة مربعة n×n من الأعداد الحقيقية، إضافةً إلى مقلوبه \(1/\det(A)\). المحدِّد عدد وحيد يكشف لك ما إذا كانت المصفوفة قابلة للعكس (det ≠ 0) أم شاذة (det = 0)، وهو حاضر في كل أرجاء الجبر الخطي والهندسة (مقياس الحجم ذي الإشارة) وأنظمة المعادلات. والرياضيات هنا عالمية — تعمل بالطريقة نفسها في كل مكان.
طريقة الاستخدام
حدِّد رتبة المصفوفة \(n\) (من 1 إلى 10)، ثم أدخِل كل عنصر \(a_{ij}\) في الشبكة. يمكن أن تكون العناصر سالبة أو عشرية أو صفرية. واختَر عدد الأرقام المعروضة إذا أردت دقة إضافية. تُعيد الحاسبة قيمة المحدِّد، وعندما تكون المصفوفة قابلة للعكس تُعيد كذلك المقلوب \(1/\det(A)\). أما إذا كان المحدِّد صفراً فإنها تُنبِّه إلى أن المصفوفة شاذة وتُبيِّن أن المقلوب غير معرَّف.
الصيغة الرياضية
يمكن تعريف المحدِّد عبر مفكوك لابلاس (مفكوك المرافقات) على طول صف: $$\det(A) = \sum_{j} a_{ij}\cdot(-1)^{i+j}\cdot M_{ij}$$ حيث \(M_{ij}\) هو الأصغر الناتج عن حذف الصف \(i\) والعمود \(j\). وعند \(n = 2\) يكون \(\det = a_{11}a_{22} - a_{21}a_{12}\). ولأجل الاستقرار العددي والسرعة، تستخدم هذه الحاسبة بدلاً من ذلك حذف غاوس مع المحورية الجزئية: نختزل \(A\) إلى صورة مثلثية عليا، ونتتبَّع تغيُّر الإشارة الناجم عن تبادل الصفوف، ثم نضرب المحاور القطرية — $$\det(A) = \operatorname{sign} \cdot \prod_{k=1}^{n} U_{kk}$$
مثال محلول
لِنأخذ \(A = [[1,2,3],[4,5,6],[7,8,10]]\): $$\det = 1(5\cdot10 - 6\cdot8) - 2(4\cdot10 - 6\cdot7) + 3(4\cdot8 - 5\cdot7) = 1(2) - 2(-2) + 3(-3) = 2 + 4 - 9 = -3$$ إذن \(\det(A) = -3\) و \(1/\det(A) \approx -0.3333\).
الأسئلة الشائعة
ماذا يعني أن يكون المحدِّد مساوياً لصفر؟ تكون المصفوفة شاذة: صفوفها أو أعمدتها مترابطة خطياً، ولا يوجد لها معكوس، والمقلوب \(1/\det(A)\) غير معرَّف.
هل يمكن أن تكون العناصر عشرية أو سالبة؟ نعم — تُقبل أي أعداد حقيقية.
لماذا نستخدم الحذف بدل مفكوك المرافقات؟ يكلِّف مفكوك المرافقات \(O(n!)\) من العمليات، بينما حذف غاوس بترتيب \(O(n^3)\) وأكثر استقراراً عددياً مع المصفوفات الكبيرة.
