ما هو عدد ستيرلنغ من النوع الأول؟
أعداد ستيرلنغ المُوقَّعة من النوع الأول، ويُرمز إليها بـ \(s(n,k)\)، هي المعاملات التي تظهر عند نشر العاملي المتناقص \(x(x-1)(x-2)\dots(x-n+1)\) إلى قوى اعتيادية للمتغيّر \(x\). أما قيمها المطلقة \(c(n,k) = |s(n,k)|\) فتُعبّر عن عدد تباديل \(n\) عنصرًا التي تتحلّل إلى \(k\) دورة منفصلة بالضبط. ويربط بين النوعين قاعدة الإشارة \(s(n,k) = (-1)^{n-k} c(n,k)\). تُرجع هذه الحاسبة القيمة المُوقَّعة، بما يوافق اصطلاح معاملات العاملي المتناقص.
كيفية الاستخدام
أدخل عددين صحيحين غير سالبين: \(n\) (معامل الحجم) و\(k\) (عدد الدورات، أو بالمكافئ دليل القوة). اضغط على زر الحساب لتُرجع الأداة قيمة \(s(n,k)\). إذا كان \(k\) أكبر من \(n\) فالنتيجة 0؛ وقيمة \(s(n,n)\) تساوي دائمًا 1؛ كما أن \(s(0,0)\) تساوي 1 بحكم التعريف.
شرح الصيغة
نبني جدولًا صغيرًا بالبرمجة الديناميكية باستخدام العلاقة التراجعية
$$s(n+1,k) = s(n,k-1) - n\, s(n,k)$$انطلاقًا من \(s(0,0)=1\)، مع \(s(n,0)=0\) عندما \(n>0\) و\(s(0,k)=0\) عندما \(k>0\). يُحسب كل صف اعتمادًا على الصف السابق له، فلا حاجة إلى جدول بحث كبير. والحدّ السالب في العلاقة التراجعية هو ما يولّد الإشارات المتناوبة.
مثال محلول
لنحسب \(s(5,2)\). إن أعداد الدورات غير المُوقَّعة للصف الخامس هي \(c(5,1)=24\)، \(c(5,2)=50\)، \(c(5,3)=35\)، \(c(5,4)=10\)، \(c(5,5)=1\). والإشارة هي \((-1)^{5-2} = -1\)، ومن ثَمّ
$$s(5,2) = -50$$وللتحقّق:
$$x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) = x^5 - 10x^4 + 35x^3 - 50x^2 + 24x$$ومعامل \(x^2\) يساوي فعلًا \(-50\).
الأسئلة الشائعة
لماذا قد تكون النتيجة سالبة؟ لأن هذه هي النسخة المُوقَّعة؛ فمعامل \(x^k\) في العاملي المتناقص يتناوب في الإشارة وفق القاعدة \((-1)^{n-k}\).
كيف أحصل على عدد الدورات غير المُوقَّع؟ خذ القيمة المطلقة: \(c(n,k) = |s(n,k)|\).
كم يساوي مجموع القيم غير المُوقَّعة عبر صفٍ واحد؟ مجموع \(c(n,k)\) على جميع قيم \(k\) يساوي \(n!\) (مضروب \(n\)).
