ما هو عدد ستيرلنغ من النوع الثاني؟
عدد ستيرلنغ من النوع الثاني، ويُرمز له بالرمز \(S(n,k)\)، يحسب عدد الطرق الممكنة لتقسيم مجموعة مكوّنة من \(n\) عنصرًا متمايزًا (مُعنونًا) إلى \(k\) مجموعة جزئية غير فارغة وغير مُعنونة. وهو مقدار أساسي في علم التوافيق (Combinatorics) ويظهر في المسائل المتعلقة بتقسيم المجموعات، والدوال الغامرة (Surjections)، وأعداد بِل. هذه أداة رياضية بحتة تعمل بالطريقة نفسها في كل مكان دون اختلاف.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل حجم المجموعة \(n\) وعدد المجموعات الجزئية \(k\). يجب أن يكون كلاهما عددًا صحيحًا غير سالب. ثم اضغط على زر الحساب للحصول على قيمة \(S(n,k)\)، أي العدد الدقيق للتقسيمات. إذا كانت \(k\) أكبر من \(n\)، فإن الناتج يساوي 0، لأنه لا يمكن ملء عدد من المجموعات غير الفارغة يفوق عدد العناصر المتاحة.
شرح الصيغة
الصيغة الصريحة هي $$S(n,k) = \frac{1}{k!}\sum_{j=0}^{k} (-1)^{k-j}\binom{k}{j} j^{n}$$ حيث يمثل \(C(k,j)\) المعامل الثنائي (Binomial coefficient). وهناك طريقة مكافئة وأكثر أمانًا من الناحية العددية، وهي العلاقة التراجعية $$S(n,k) = k\,S(n-1,k) + S(n-1,k-1)$$ بالحالات الأساسية \(S(0,0)=1\)، و \(S(n,0)=0\) عندما \(n>0\)، و \(S(0,k)=0\) عندما \(k>0\). تعتمد هذه الحاسبة على العلاقة التراجعية لتجنّب أخطاء الإلغاء في الأعداد ذات الفاصلة العائمة. ومن الحالات الخاصة المفيدة: \(S(n,1)=1\)، و \(S(n,n)=1\)، و \(S(n,2)=2^{n-1}-1\).
مثال محلول
لنأخذ \(n=5\) و \(k=2\): باستخدام الحالة الخاصة نجد أن $$S(5,2)=2^{5-1}-1=16-1=15.$$ وتؤكد العلاقة التراجعية هذه النتيجة: $$S(5,2)=2\cdot S(4,2)+S(4,1)=2\cdot 7+1=15.$$ إذًا هناك 15 طريقة لتقسيم مجموعة من 5 عناصر إلى مجموعتين غير فارغتين.
الأسئلة الشائعة
لماذا تكون قيمة \(S(0,0)=1\)؟ بحكم الاصطلاح الرياضي، تمتلك المجموعة الخالية تقسيمًا واحدًا فقط إلى صفر أجزاء، وهو التقسيم الخالي.
ماذا يحدث عندما تكون \(k > n\)؟ يكون الناتج 0، لأن كل مجموعة جزئية يجب أن تكون غير فارغة، بينما لديك عدد من العناصر أقل من اللازم.
ما علاقة ذلك بأعداد بِل؟ عند جمع قيم \(S(n,k)\) لكل قيم \(k\) من 0 إلى \(n\)، نحصل على عدد بِل \(B(n)\)، وهو العدد الإجمالي لتقسيمات مجموعة مكوّنة من \(n\) عنصرًا.
