दूसरे प्रकार की स्टर्लिंग संख्या S(n,k) कैलकुलेटर

गणना दर्ज करें

n (समुच्चय का आकार)

k (उपसमुच्चयों की संख्या)

परिणाम

Stirling Number of the Second Kind S(5, 2)

15

ways to partition 5 labeled elements into 2 non-empty subsets

n (समुच्चय का आकार)	5
k (उपसमुच्चय)	2
संकेतन	S(n, k)

दूसरे प्रकार की स्टर्लिंग संख्या क्या है?

दूसरे प्रकार की स्टर्लिंग संख्या, जिसे \(S(n,k)\) लिखा जाता है, यह गिनती है कि n अलग-अलग (लेबल वाले) तत्वों के एक समुच्चय को ठीक k गैर-खाली, अलेबल उपसमुच्चयों में कितने तरीकों से बाँटा जा सकता है। यह संयोजनशास्त्र (combinatorics) की एक बुनियादी राशि है और समुच्चय विभाजन, आच्छादक फलन (surjections) तथा बेल संख्याओं से जुड़ी समस्याओं में सामने आती है। यह शुद्ध गणित का उपकरण है, जो हर जगह एक ही तरह काम करता है।

\(S(n,k)\) यह गिनता है कि n नामांकित वस्तुओं को k गैर-खाली बिना नाम वाले समूहों में कितने तरीकों से बाँटा जा सकता है।

इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

समुच्चय का आकार \(n\) और उपसमुच्चयों की संख्या \(k\) दर्ज करें। दोनों ऋणेतर पूर्णांक (non-negative integers) होने चाहिए। \(S(n,k)\) — यानी विभाजनों की सटीक गिनती — पाने के लिए calculate दबाएँ। यदि k, n से बड़ा है तो परिणाम 0 होगा, क्योंकि जितने तत्व हैं उससे ज़्यादा गैर-खाली उपसमुच्चय भरना संभव नहीं है।

सूत्र की व्याख्या

स्पष्ट रूप इस प्रकार है:

$$S(n,k) = \frac{1}{k!}\sum_{j=0}^{k} (-1)^{k-j}\binom{k}{j} j^{n}$$

जहाँ \(C(k,j)\) द्विपद गुणांक (binomial coefficient) है। इसका एक समतुल्य और संख्यात्मक रूप से अधिक सुरक्षित तरीका पुनरावृत्ति सूत्र है:

$$S(n,k) = k\,S(n-1,k) + S(n-1,k-1)$$

जिसके आधार मान हैं \(S(0,0)=1\), \(n>0\) के लिए \(S(n,0)=0\), और \(k>0\) के लिए \(S(0,k)=0\)। यह कैलकुलेटर फ़्लोटिंग-पॉइंट त्रुटियों से बचने के लिए पुनरावृत्ति सूत्र का उपयोग करता है। कुछ उपयोगी विशेष स्थितियाँ: \(S(n,1)=1\), \(S(n,n)=1\), और \(S(n,2)=2^{n-1}-1\)।

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हल किया गया उदाहरण

\(n=5\) और \(k=2\) के लिए: विशेष सूत्र का उपयोग करते हुए

$$S(5,2)=2^{5-1}-1=16-1=15$$

पुनरावृत्ति सूत्र भी इसकी पुष्टि करता है:

$$S(5,2)=2\cdot S(4,2)+S(4,1)=2\cdot 7+1=15$$

यानी 5 तत्वों वाले समुच्चय को दो गैर-खाली समूहों में बाँटने के 15 तरीके हैं।

\(S(n,k)\) मानों का एक त्रिभुज, हर मान अपने ऊपर के दो मानों से बना है।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

\(S(0,0)=1\) क्यों होता है? परंपरा के अनुसार, रिक्त समुच्चय (empty set) का शून्य भागों में ठीक एक ही विभाजन होता है: रिक्त विभाजन।

जब \(k > n\) हो तो क्या होता है? परिणाम 0 होता है, क्योंकि हर उपसमुच्चय गैर-खाली होना चाहिए और आपके पास तत्व बहुत कम हैं।

इसका बेल संख्याओं से क्या संबंध है? \(k=0\) से \(n\) तक सभी \(S(n,k)\) का योग करने पर बेल संख्या \(B(n)\) मिलती है, जो n तत्वों वाले समुच्चय के कुल विभाजनों की संख्या है।