द्वितीय प्रकार के गोलीय बेसेल फलन की सारणी कैलकुलेटर

गणना दर्ज करें

कोटि v

x का प्रारंभिक मान

x की वृद्धि (step)

पंक्तियों की संख्या (rows)

परिणाम

First value y_v(x) (order v = 0)

-4.900333

द्वितीय प्रकार का गोलीय बेसेल फलन

x	yv(x)
0.0000	undefined
0.2000	-4.900333
0.4000	-2.302652
0.6000	-1.375559
0.8000	-0.870883
1.0000	-0.540302
1.2000	-0.301965
1.4000	-0.121405
1.6000	0.018250
1.8000	0.126223
2.0000	0.208073
2.2000	0.267501
2.4000	0.307247
2.6000	0.329573
2.8000	0.336508
3.0000	0.329997
3.2000	0.311967
3.4000	0.284352
3.6000	0.249100
3.8000	0.208149
4.0000	0.163411
4.2000	0.116729
4.4000	0.069848
4.6000	0.024381
4.8000	-0.018229
5.0000	-0.056732
5.2000	-0.090099
5.4000	-0.117536
5.6000	-0.138494
5.8000	-0.152676
6.0000	-0.160028
6.2000	-0.160733
6.4000	-0.155185
6.6000	-0.143975
6.8000	-0.127853
7.0000	-0.107700
7.2000	-0.084493
7.4000	-0.059263
7.6000	-0.033061
7.8000	-0.006917
8.0000	0.018188
8.2000	0.041360
8.4000	0.061820
8.6000	0.078921
8.8000	0.092170
9.0000	0.101237
9.2000	0.105961
9.4000	0.106350
9.6000	0.102572
9.8000	0.094941
10.0000	0.083907

द्वितीय प्रकार का गोलीय बेसेल फलन क्या है?

द्वितीय प्रकार का गोलीय बेसेल फलन, जिसे \(y_v(x)\) लिखा जाता है, गोलीय बेसेल अवकल समीकरण \(x^2 w'' + 2x w' + (x^2 - v(v+1))w = 0\) का एक हल है। यह भौतिकी में हर जगह दिखाई देता है — प्रकीर्णन सिद्धांत (scattering theory), क्वांटम यांत्रिकी (मुक्त कण के लिए त्रिज्यीय श्रोडिंगर समीकरण), तथा गोलीय सममिति वाली विद्युतचुंबकीय और ध्वनिक तरंग समस्याओं में। प्रथम प्रकार के फलन \(j_v(x)\) के विपरीत, द्वितीय प्रकार का \(y_v(x)\) जब x का मान 0 के पास पहुँचता है तो ऋणात्मक अनंत की ओर अपसरित (diverge) होता है।

Spherical Bessel functions of the second kind y_v(x) for orders v=0,1,2, showing the singularity as x approaches 0 and decaying oscillations.

इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

कोटि \(v\) (कोई भी वास्तविक संख्या; छोटे अऋणात्मक पूर्णांक सबसे आम हैं), x का प्रारंभिक मान, क्रमिक x मानों के बीच का अंतराल (step), और बनाई जाने वाली पंक्तियों की संख्या दर्ज करें। यह उपकरण x और \(y_v(x)\) की एक सारणी तथा परिणाम का ग्राफ तैयार करता है। चूँकि \(x = 0\) पर फलन एकल (singular) होता है, इसलिए जिस भी पंक्ति में \(x \le 0\) होगा उसे "अपरिभाषित" बताया जाएगा।

सूत्र

यह फलन द्वितीय प्रकार के बेलनाकार बेसेल फलन से परिभाषित होता है:

$$y_v(x) = \sqrt{\frac{\pi}{2x}}\; Y_{v+\frac{1}{2}}(x)$$

पूर्णांक कोटि के लिए प्राथमिक संवृत रूप (closed forms) लागू होते हैं, जैसे \(y_0(x) = -\cos(x)/x\) और \(y_1(x) = -\cos(x)/x^2 - \sin(x)/x\)। उच्च कोटियाँ आगे की पुनरावृत्ति (forward recurrence) से प्राप्त होती हैं:

$$y_{v+1}(x) = \frac{2v+1}{x}\cdot y_v(x) - y_{v-1}(x)$$

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The spherical function y_v(x) is obtained from the ordinary Bessel function Y of half-integer-shifted order times a scaling factor.

हल किया गया उदाहरण

कोटि \(v = 1\), प्रारंभिक \(x = 2\) के लिए:

$$y_1(2) = -\frac{\cos(2)}{4} - \frac{\sin(2)}{2} = -\frac{-0.4161468}{4} - \frac{0.9092974}{2} = 0.1040367 - 0.4546487 = -0.3506120$$

\(v = 0\) के लिए \(x = 1, 2, 3\) पर आपको क्रमशः \(-0.540302\), \(0.208073\), \(0.329998\) मिलेगा।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

\(x = 0\) अपरिभाषित क्यों है? गुणक \(\sqrt{\pi/(2x)}\) तथा \(1/x\) वाले पद अनंत हो जाते हैं, इसलिए \(y_v(0) = -\infty\)।

क्या x ऋणात्मक हो सकता है? मानक वास्तविक परिपाटी में \(y_v(x)\) केवल \(x > 0\) के लिए ही वास्तविक होता है; ऋणात्मक x को अपरिभाषित बताया जाता है।

बड़े x पर क्या होता है? फलन \(1/x\) के क्षयमान आवरण के साथ दोलन करता है: \(y_v(x) \approx -\cos(x - (v+1)\pi/2)/x\)।