यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल किसी वास्तविक, इकाई-रहित (dimensionless) संख्या x के छहों हाइपरबोलिक फंक्शन की गणना करता है: साइन, कोसाइन और टैंजेंट के समकक्ष sinh, cosh और tanh, और इनके व्युत्क्रम (reciprocal) csch (कोसेकेंट), sech (सेकेंट) और coth (कोटैंजेंट)। यहाँ x एक शुद्ध संख्या है — यह डिग्री में मापा गया कोण नहीं है, इसलिए डिग्री-से-रेडियन कोई रूपांतरण नहीं किया जाता। हाइपरबोलिक फंक्शन भौतिकी और इंजीनियरिंग में हर जगह दिखते हैं: लटकती हुई केबल का आकार (कैटेनरी), विशेष आपेक्षिकता (special relativity), सिग्नल प्रोसेसिंग, ऊष्मा स्थानांतरण और कई अवकल समीकरणों (differential equations) के हल में।
इसका उपयोग कैसे करें
x के लिए कोई भी वास्तविक मान दर्ज करें और चुनें कि परिणाम कितने सार्थक अंकों (significant digits) तक दिखाना है। कैलकुलेटर एक साथ छहों फंक्शन के मान लौटा देता है। चूँकि \(\cosh(x)\) हमेशा कम से कम 1 होता है, इसलिए \(\operatorname{sech}(x)\) हमेशा परिभाषित रहता है। लेकिन \(\sinh(0) = 0\) और \(\tanh(0) = 0\) होने के कारण \(\operatorname{csch}(0)\) और \(\coth(0)\) में शून्य से भाग आ जाता है, इसलिए इन्हें "अपरिभाषित" (undefined) दिखाया जाता है।
सूत्र की व्याख्या
यह सब कुछ चरघातांकीय फंक्शन (exponential function) से बनता है। मान लें \(e_p = e^x\) और \(e_n = e^{-x}\):
$$\sinh x = \dfrac{e^{x} - e^{-x}}{2}, \quad \cosh x = \dfrac{e^{x} + e^{-x}}{2}, \quad \tanh x = \dfrac{\sinh x}{\cosh x}$$\(\sinh(x) = (e_p - e_n)/2\) चरघातांकी फंक्शन के विषम (odd) भाग को दर्शाता है, \(\cosh(x) = (e_p + e_n)/2\) सम (even) भाग को दर्शाता है, और \(\tanh(x) = \sinh(x)/\cosh(x)\)। व्युत्क्रम सीधे इन्हीं से निकलते हैं:
$$\operatorname{csch} x = \dfrac{1}{\sinh x}, \quad \operatorname{sech} x = \dfrac{1}{\cosh x}, \quad \coth x = \dfrac{1}{\tanh x}$$एक उपयोगी सर्वसमिका जो हमेशा सही रहती है वह है \(\cosh^2(x) - \sinh^2(x) = 1\), जो पाइथागोरस सर्वसमिका का हाइपरबोलिक रूप है।
हल किया गया उदाहरण (x = 1)
\(e = 2.718281828\ldots\) और \(e^{-1} = 0.367879441\ldots\) के साथ:
$$\sinh(1) = \dfrac{2.718281828 - 0.367879441}{2} = 1.175201194$$$$\cosh(1) = \dfrac{2.718281828 + 0.367879441}{2} = 1.543080635$$$$\tanh(1) = \dfrac{1.175201194}{1.543080635} = 0.761594156$$व्युत्क्रम देते हैं \(\operatorname{csch}(1) = 0.850918128\), \(\operatorname{sech}(1) = 0.648054274\) और \(\coth(1) = 1.313035285\)।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल (FAQ)
क्या x डिग्री में एक कोण है? नहीं। हाइपरबोलिक फंक्शन एक सादी वास्तविक संख्या लेते हैं; यहाँ कोई डिग्री मोड या रूपांतरण नहीं होता।
csch(0) और coth(0) अपरिभाषित क्यों हैं? दोनों में \(\sinh(0) = 0\) से भाग होता है, जो अपरिभाषित है। कैलकुलेटर अनंत (infinity) लौटाने के बजाय इन्हें चिह्नित कर देता है।
कौन-से फंक्शन सम (even) और कौन-से विषम (odd) हैं? sinh, tanh, csch और coth विषम हैं (\(f(-x) = -f(x)\)); cosh और sech सम हैं (\(f(-x) = f(x)\))।
