घातांकीय समाकल En(x) क्या है?
कोटि n का घातांकीय समाकल, जिसे En(x) लिखा जाता है, दरअसल \(e^{-xt}/t^{n}\) का \(t = 1\) से अनंत तक लिया गया निश्चित समाकल है। यह फलन भौतिकी और इंजीनियरिंग में हर जगह दिखता है — विकिरण स्थानांतरण (radiative transfer), न्यूट्रॉन परिवहन, ऊष्मा चालन और एंटीना सिद्धांत, सभी में इसका उपयोग होता है। किसी निश्चित पूर्णांक कोटि n के लिए यह x का एक चिकना (smooth), धनात्मक और एकदिष्ट रूप से घटता हुआ फलन है, जो x के बड़े होने पर शून्य की ओर जाता है। यह कैलकुलेटर (x, En(x)) जोड़ों की पूरी तालिका और एक रेखा-ग्राफ तैयार करता है, ताकि आप वक्र को एक नज़र में समझ सकें।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
चार संख्याएँ दर्ज करें: कोटि n (कोई भी अऋणात्मक पूर्णांक जैसे 0, 1, 2, 3), x का आरंभिक मान जहाँ से तालिका शुरू होगी, हर अगली पंक्ति के लिए x में जोड़ा जाने वाला वृद्धि अंतराल (स्टेप), और दोहराव की संख्या (यानी कितनी पंक्तियाँ बनानी हैं)। यह टूल $$x_i = \text{initialX} + i \cdot \text{step}, \quad i = 0,\dots,\text{rows}-1$$ की गणना करता है और हर बिंदु पर En(xi) निकालता है। डिफ़ॉल्ट मानों (n = 2, आरंभ 0, स्टेप 0.02, 101 पंक्तियाँ) के साथ आपको x का मान 0.00 से 2.00 तक 0.02 के स्टेप में मिलता है।
सूत्र की व्याख्या
En(x) की गणना एक क्लासिक संख्यात्मक विधि से की जाती है: \(x > 1\) के लिए लेंट्ज़ की सतत भिन्न (continued fraction) विधि तेज़ी से अभिसरित होती है, जबकि \(0 < x \le 1\) के लिए घात-श्रेणी (power series) विस्तार काम आता है। मूल परिभाषा इस प्रकार है: $$E_{\text{n}}(x_i) = \int_{1}^{\infty} \frac{e^{-x_i\,t}}{t^{\,\text{n}}}\, dt$$ कुछ विशेष मानों को सीधे संभाला जाता है: \(E_0(x) = e^{-x}/x\), और \(n \ge 2\) के लिए \(E_n(0) = 1/(n-1)\)। मामला \(E_1(0)\) अनंत की ओर अपसरित होता है, इसलिए तालिका में इसे किसी संख्या के रूप में दिखाने के बजाय चिह्नित कर दिया जाता है।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए \(n = 2\) और \(x = 1\)। पहचान \(E_2(x) = e^{-x} - x \cdot E_1(x)\) का उपयोग करते हुए, जहाँ \(E_1(1) \approx 0.2193839\), हमें मिलता है $$E_2(1) = 0.3678794 - 0.2193839 = 0.1484955$$ कैलकुलेटर भी यही मान देता है। \(x = 0\) पर \(E_2(0) = 1/(2-1) = 1\), और \(x = 2\) पर \(E_2(2) \approx 0.0375343\) — यानी वक्र स्पष्ट रूप से घट रहा है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
क्या n एक भिन्न हो सकता है? नहीं। यह टूल केवल अऋणात्मक पूर्णांक कोटियों के लिए परिभाषित है; अपूर्णांक n इसके दायरे से बाहर है।
किसी पंक्ति में "अपसरित" क्यों लिखा आता है? \(E_1(0)\) गणितीय रूप से अनंत है (वहाँ समाकल अभिसरित नहीं होता), इसलिए भ्रामक संख्या दिखाने के बजाय उस एक पंक्ति को अपसरित के रूप में चिह्नित कर दिया जाता है।
ऋणात्मक x का क्या होगा? \(n \ge 1\) के लिए \(x < 0\) पर समाकल आम तौर पर अपसरित होता है, इसलिए कैलकुलेटर केवल \(x \ge 0\) के लिए ही परिमित मान देता है।
