dn(u, k) क्या है?
Jacobi इलिप्टिक फलन dn(u, k), जिसे "डेल्टा एम्प्लीट्यूड" कहा जाता है, sn और cn के साथ तीन मुख्य Jacobi इलिप्टिक फलनों में से एक है। ये फलन सामान्य त्रिकोणमितीय फलनों का सामान्यीकरण हैं और भौतिकी तथा इंजीनियरिंग में हर जगह दिखाई देते हैं: पेंडुलम का सटीक आवर्तकाल, अरैखिक तरंग समीकरणों के सॉलिटॉन हल, दृढ़ पिंड की गति (Euler के समीकरण), और इलिप्टिक फ़िल्टर डिज़ाइन। यह कैलकुलेटर किसी भी वास्तविक तर्क u और -1 से 1 के बीच मापांक k के लिए dn का मान निकालता है।
इसका उपयोग कैसे करें
तर्क u (कोई भी वास्तविक संख्या) और मापांक k दर्ज करें जहाँ \(-1 \le k \le 1\) हो। चूँकि dn केवल \(k^2\) पर निर्भर करता है, इसलिए k का चिह्न (धन या ऋण) परिणाम को प्रभावित नहीं करता। dn(u, k) पाने के लिए गणना पर क्लिक करें। अंदरूनी तौर पर कैलकुलेटर पैरामीटर \(m = k^2\) सेट करता है।
सूत्र की व्याख्या
मान लीजिए \(\varphi = \operatorname{am}(u, m)\) एम्प्लीट्यूड है, जो प्रथम प्रकार के अपूर्ण इलिप्टिक समाकल \(F(\varphi \mid m) = u\) द्वारा अंतर्निहित रूप से परिभाषित है। तब \(\operatorname{sn} = \sin(\varphi)\), \(\operatorname{cn} = \cos(\varphi)\), और $$\operatorname{dn} = \sqrt{1 - k^2\sin^2\varphi}$$ हम \(\operatorname{am}(u, m)\) की गणना descending Landen / अंकगणितीय-ज्यामितीय-माध्य (AGM) रूपांतरण से संख्यात्मक रूप से करते हैं (यह क्लासिक Numerical Recipes "sncndn" रूटीन है), जो द्विघातीय रूप से अभिसरित होता है और पूरे डोमेन में सटीक रहता है।
हल किया गया उदाहरण
मान लीजिए \(u = 4\) और \(k = 0.7\), अतः \(m = 0.49\)। एम्प्लीट्यूड \(\operatorname{am}(4, 0.49) \approx 3.4179\) रेडियन है, जिससे \(\operatorname{sn}(4, 0.7) \approx -0.27156\) मिलता है। तब $$\operatorname{dn} = \sqrt{1 - 0.49 \times (-0.27156)^2} = \sqrt{1 - 0.036131} = \sqrt{0.963869} \approx 0.981768$$
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
जब k = 0 हो तो क्या होता है? हर u के लिए \(\operatorname{dn}(u, 0) = 1\) होता है, क्योंकि मापांक वाला पद शून्य हो जाता है और \(\operatorname{am}(u, 0) = u\) हो जाता है।
और k = 1 पर क्या होता है? \(\operatorname{dn}(u, 1) = \operatorname{sech}(u) = \dfrac{1}{\cosh(u)}\); उदाहरण के लिए \(\operatorname{dn}(4, 1) \approx 0.036644\)।
dn का परिसर (रेंज) क्या है? \(|k| < 1\) के लिए dn हमेशा धनात्मक रहता है और अपने न्यूनतम मान \(k' = \sqrt{1 - k^2}\) तथा \(u = 0 \pmod{2K}\) पर अपने अधिकतम मान 1 के बीच दोलन करता है, जहाँ K प्रथम प्रकार का पूर्ण इलिप्टिक समाकल है।
