dn(u, k)란?
'델타 진폭(delta amplitude)'이라 불리는 야코비 타원함수 dn(u, k)는 sn, cn과 함께 3대 야코비 타원함수 중 하나입니다. 이 함수들은 일반적인 삼각함수를 확장한 것으로, 물리학과 공학 전반에 걸쳐 등장합니다. 진자의 정확한 주기, 비선형 파동 방정식의 솔리톤 해, 강체의 운동(오일러 방정식), 타원형 필터 설계 등이 대표적인 예입니다. 이 계산기는 임의의 실수 인수 \(u\)와 -1에서 1 사이의 모듈러스 \(k\)에 대해 dn 값을 계산해 줍니다.
사용 방법
인수 u(임의의 실수)와 \(-1 \le k \le 1\) 범위의 모듈러스 k를 입력하세요. dn은 \(k^2\)에만 의존하므로 k의 부호는 결과에 영향을 주지 않습니다. 계산 버튼을 누르면 dn(u, k) 값을 얻을 수 있습니다. 계산기 내부에서는 매개변수 \(m = k^2\)으로 설정해 처리합니다.
공식 설명
진폭 \(\varphi = \operatorname{am}(u, m)\)을 제1종 불완전 타원적분 \(F(\varphi \mid m) = u\)로 암시적으로 정의합니다. 그러면 \(\operatorname{sn} = \sin(\varphi)\), \(\operatorname{cn} = \cos(\varphi)\), $$\operatorname{dn} = \sqrt{1 - k^2\sin^2\varphi}$$가 됩니다. \(\operatorname{am}(u, m)\)은 하강 란덴(Landen) 변환 / 산술기하평균(AGM) 변환으로 수치적으로 계산하며, 이는 고전적인 Numerical Recipes의 'sncndn' 루틴에 해당합니다. 이 방법은 2차 수렴(quadratic convergence)을 보이며 전체 정의역에서 높은 정확도를 유지합니다.
계산 예시
\(u = 4\), \(k = 0.7\)이라고 하면 \(m = 0.49\)입니다. 진폭 \(\operatorname{am}(4, 0.49) \approx 3.4179\) rad이므로 \(\operatorname{sn}(4, 0.7) \approx -0.27156\)이 됩니다. 따라서 $$\operatorname{dn} = \sqrt{1 - 0.49 \times (-0.27156)^2} = \sqrt{1 - 0.036131} = \sqrt{0.963869} \approx 0.981768$$입니다.
자주 묻는 질문
k = 0일 때는 어떻게 되나요? 모든 u에 대해 \(\operatorname{dn}(u, 0) = 1\)입니다. 모듈러스 항이 사라지고 \(\operatorname{am}(u, 0) = u\)가 되기 때문입니다.
k = 1일 때는요? $$\operatorname{dn}(u, 1) = \operatorname{sech}(u) = \frac{1}{\cosh(u)}$$입니다. 예를 들어 \(\operatorname{dn}(4, 1) \approx 0.036644\)입니다.
dn의 범위는 어떻게 되나요? \(|k| < 1\)인 경우 dn은 항상 양수이며, 최솟값 \(k' = \sqrt{1 - k^2}\)와 \(u = 0\)(2K의 배수 기준)에서의 최댓값 1 사이에서 진동합니다. 여기서 \(K\)는 제1종 완전 타원적분입니다.
