대입법이란?
대입법은 미지수가 두 개인 연립일차방정식을 푸는 대표적인 대수 기법입니다. 한 방정식을 한 변수에 대해 정리한 뒤, 그 식을 다른 방정식에 대입하여 미지수가 하나뿐인 방정식으로 줄여서 풉니다. 이 계산기는 일반형 연립방정식 \(a_1x + b_1y = c_1\), \(a_2x + b_2y = c_2\)를 자동으로 계산해 줍니다.
사용 방법
여섯 개의 계수를 입력하세요. 첫 번째 방정식의 \(a_1\), \(b_1\), \(c_1\)과 두 번째 방정식의 \(a_2\), \(b_2\), \(c_2\)입니다. 계산 버튼을 누르면 정확한 \(x\), \(y\) 값은 물론, 유일한 해가 존재하는지 확인해 주는 행렬식 \(a_1b_2 - a_2b_1\)까지 함께 나옵니다.
공식 풀이
첫 번째 방정식에서 \(x = (c_1 - b_1y) / a_1\)로 정리할 수 있습니다. 이것을 두 번째 방정식에 대입하고 정리하면 다음과 같습니다.
$$x = \frac{c_1 b_2 - c_2 b_1}{a_1 b_2 - a_2 b_1}, \qquad y = \frac{a_1 c_2 - a_2 c_1}{a_1 b_2 - a_2 b_1}$$\(y\) 값을 구한 뒤 다시 대입하면 \(x\)를 얻습니다. 분모 \(a_1b_2 - a_2b_1\)은 계수행렬의 행렬식입니다. 이 값이 0이면 두 직선이 평행하거나(해 없음) 완전히 같은 직선이므로(해가 무수히 많음) 유일한 해가 존재하지 않습니다.
예제 풀이
\(2x + 3y = 13\)과 \(x - y = -1\)을 풀어 봅시다. 여기서 \(a_1=2\), \(b_1=3\), \(c_1=13\), \(a_2=1\), \(b_2=-1\), \(c_2=-1\)입니다. 행렬식 \(= (2)(-1) - (1)(3) = -5\)입니다. 그러면 다음과 같습니다.
$$y = \frac{2 \cdot -1 - 1 \cdot 13}{-5} = \frac{-15}{-5} = 3$$다시 대입하면 다음과 같습니다.
$$x = \frac{13 - 3 \cdot 3}{2} = \frac{4}{2} = 2$$따라서 \(x = 2\), \(y = 3\)입니다.
자주 묻는 질문
행렬식이 0이면 어떻게 되나요? 유일한 해가 없습니다. 두 직선이 평행하거나 완전히 겹친다는 뜻입니다.
소수나 음수도 사용할 수 있나요? 네. 분수를 소수로 입력하는 경우를 포함해 어떤 실수 계수든 사용할 수 있습니다.
가감법(소거법)이나 크라메르 공식과 같은 답이 나오나요? 네. 행렬식이 0이 아닌 모순 없는 연립방정식이라면 세 방법 모두 동일한 \(x\), \(y\) 값을 줍니다.
