代入法とは？
代入法は、2つの未知数を含む2元1次連立方程式を解くための代表的な代数の手法です。まず一方の式を1つの変数について解き、その式をもう一方の式に代入することで、1つの変数だけの方程式に置き換えます。この計算ツールは、一般形の連立方程式 \(a_1 x + b_1 y = c_1\) と \(a_2 x + b_2 y = c_2\) について、この計算を自動で行います。
使い方
6つの係数を入力します。1つ目の式から \(a_1\)、\(b_1\)、\(c_1\) を、2つ目の式から \(a_2\)、\(b_2\)、\(c_2\) を入力してください。計算ボタンを押すと、xとyの正確な値が表示されます。あわせて、解が一意に定まるかどうかを判定する行列式 \(a_1 b_2 - a_2 b_1\) も確認できます。
公式の解説
式①より、\(x = (c_1 - b_1 y) / a_1\) となります。これを式②に代入して整理すると、次の式が得られます。
$$ x = \frac{c_1 b_2 - c_2 b_1}{a_1 b_2 - a_2 b_1}, \qquad y = \frac{a_1 c_2 - a_2 c_1}{a_1 b_2 - a_2 b_1} $$yが求まったら、元の式に代入してxを計算します。分母の \(a_1 b_2 - a_2 b_1\) は係数行列の行列式です。これが0になる場合、2直線は平行（解なし）か、まったく同じ直線（解が無数に存在）となり、一意の解は存在しません。
計算例
\(2x + 3y = 13\) と \(x - y = -1\) を解いてみましょう。ここでは \(a_1=2\)、\(b_1=3\)、\(c_1=13\)、\(a_2=1\)、\(b_2=-1\)、\(c_2=-1\) です。行列式 \(= (2)(-1) - (1)(3) = -5\)。よって $$ y = \frac{2 \cdot -1 - 1 \cdot 13}{-5} = \frac{-15}{-5} = 3 $$ これを代入して $$ x = \frac{13 - 3 \cdot 3}{2} = \frac{4}{2} = 2 $$ したがって \(x = 2\)、\(y = 3\) となります。
よくある質問
行列式が0のときはどうなりますか？ 連立方程式に一意の解は存在しません。2直線が平行であるか、完全に重なっている状態です。
小数やマイナスの値も使えますか？ はい。任意の実数の係数が使えます。分数は小数に直して入力してください。
加減法やクラメルの公式と同じ答えになりますか？ はい。行列式が0でなく解が一意に定まる連立方程式であれば、どの方法でもまったく同じxとyの値が得られます。
