Yerine Koyma Yöntemi Hesaplayıcı

Hesaplamaya Girin

a₁ (x katsayısı, 1. denklem)

b₁ (y katsayısı, 1. denklem)

c₁ (sabit terim, 1. denklem)

a₂ (x katsayısı, 2. denklem)

b₂ (y katsayısı, 2. denklem)

c₂ (sabit terim, 2. denklem)

Sonuç

Çözüm

x = 2, y = 3

yerine koyma yöntemiyle çözüldü

x	2
y	3
Determinant (a₁b₂ − a₂b₁)	-5

Yerine Koyma Yöntemi Nedir?

Yerine koyma yöntemi, iki bilinmeyenli iki doğrusal denklemden oluşan bir sistemi çözmek için kullanılan klasik bir cebir tekniğidir. Denklemlerden birini tek bir değişken için çözer ve elde ettiğiniz ifadeyi diğer denklemde yerine koyarsınız; böylece problem tek bilinmeyenli tek bir denkleme indirgenir. Bu hesaplayıcı, \(a_1 x + b_1 y = c_1\) ve \(a_2 x + b_2 y = c_2\) genel sistemi için bu işlemi sizin yerinize otomatik olarak yapar.

Yerine koyma yöntemi: bir denklemi bir değişken için çözün, sonra onu diğerinde yerine koyun.

Nasıl Kullanılır?

Altı katsayıyı girin: birinci denklemden \(a_1\), \(b_1\), \(c_1\) ve ikinci denklemden \(a_2\), \(b_2\), \(c_2\). Hesapla düğmesine bastığınızda \(x\) ve \(y\)'nin kesin değerlerini ve tek bir çözümün var olup olmadığını gösteren \(a_1 b_2 - a_2 b_1\) determinantını görürsünüz.

Formülün Açıklaması

Birinci denklemden \(x = (c_1 - b_1 y) / a_1\) elde edilir. Bu ifade ikinci denklemde yerine konup sadeleştirildiğinde $$ x = \frac{c_1 b_2 - c_2 b_1}{a_1 b_2 - a_2 b_1}, \qquad y = \frac{a_1 c_2 - a_2 c_1}{a_1 b_2 - a_2 b_1} $$ bulunur. \(y\) bilindikten sonra geri yerine koyma yapılarak \(x\) hesaplanır. Paydadaki \(a_1 b_2 - a_2 b_1\) ifadesi, katsayı matrisinin determinantıdır. Eğer bu determinant sıfıra eşitse, iki doğru paraleldir (çözüm yoktur) veya aynıdır (sonsuz sayıda çözüm vardır); dolayısıyla tek bir çözüm bulunmaz.

Çözümlü Örnek

\(2x + 3y = 13\) ve \(x - y = -1\) sistemini çözelim. Burada \(a_1=2\), \(b_1=3\), \(c_1=13\), \(a_2=1\), \(b_2=-1\), \(c_2=-1\)'dir. Determinant $$ (2)(-1) - (1)(3) = -5 $$ Buradan $$ y = \frac{2 \cdot -1 - 1 \cdot 13}{-5} = \frac{-15}{-5} = 3 $$ Geri yerine koyalım: $$ x = \frac{13 - 3 \cdot 3}{2} = \frac{4}{2} = 2 $$ Sonuç olarak \(x = 2\), \(y = 3\).

Çözüm, iki doğrunun kesiştiği noktadır.

Sıkça Sorulan Sorular

Determinant sıfır olursa ne olur? Sistemin tek bir çözümü yoktur; doğrular ya paraleldir ya da çakışıktır.

Ondalık veya negatif sayı kullanabilir miyim? Evet. Kesirleri ondalık olarak girmek dahil olmak üzere her gerçek katsayı kullanılabilir.

Bu sonuç, yok etme yöntemi veya Cramer kuralıyla aynı mı? Evet; determinantı sıfırdan farklı ve tutarlı bir sistemde her üç yöntem de aynı \(x\) ve \(y\) değerlerini verir.