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Resultados

Solución

x = 2, y = 3

resuelto por sustitución

x	2
y	3
Determinante (a₁b₂ − a₂b₁)	-5

¿Qué es el método de sustitución?

El método de sustitución es una técnica clásica del álgebra para resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Consiste en despejar una variable en una de las ecuaciones y sustituir esa expresión en la otra, de modo que el problema se reduce a una sola ecuación con una sola incógnita. Esta calculadora hace todo ese proceso de forma automática para el sistema general $a_1x + b_1y = c_1$ y $a_2x + b_2y = c_2$.

Diagrama plano que muestra cómo se despeja una variable de una ecuación y se sustituye en la segunda — El método de sustitución: despeja una variable en una ecuación y sustitúyela en la otra.

Cómo usarla

Introduce los seis coeficientes: $a_1$, $b_1$, $c_1$ de la primera ecuación y $a_2$, $b_2$, $c_2$ de la segunda. Pulsa calcular y obtendrás los valores exactos de $x$ e $y$, junto con el determinante $a_1b_2 - a_2b_1$, que confirma si existe una solución única.

La fórmula explicada

A partir de la ecuación 1, despejamos $x = (c_1 - b_1y) / a_1$. Al sustituir en la ecuación 2 y simplificar obtenemos $$ y = \frac{a_1 c_2 - a_2 c_1}{a_1 b_2 - a_2 b_1} $$ Una vez conocido el valor de $y$, se sustituye de nuevo para hallar $x$. El denominador $a_1b_2 - a_2b_1$ es el determinante de la matriz de coeficientes. Si es igual a cero, las dos rectas son paralelas (sin solución) o coincidentes (infinitas soluciones), por lo que no hay una respuesta única.

Ejemplo resuelto

Resolvamos $2x + 3y = 13$ y $x - y = -1$. Aquí $a_1=2$, $b_1=3$, $c_1=13$, $a_2=1$, $b_2=-1$, $c_2=-1$. El determinante $= (2)(-1) - (1)(3) = -5$. Entonces $$ y = \frac{2\cdot-1 - 1\cdot13}{-5} = \frac{-15}{-5} = 3 $$ Sustituyendo de vuelta: $$ x = \frac{13 - 3\cdot3}{2} = \frac{4}{2} = 2 $$ Por tanto, $x = 2$, $y = 3$.

Dos rectas que se cruzan en un solo punto de intersección sobre una cuadrícula de coordenadas x-y — La solución es el punto donde se cruzan las dos rectas.

Preguntas frecuentes

¿Qué pasa si el determinante es cero? El sistema no tiene una solución única: las rectas son paralelas o coincidentes.

¿Puedo usar decimales o números negativos? Sí. Funciona con cualquier coeficiente real, incluidas las fracciones introducidas como decimales.

¿Da el mismo resultado que la eliminación o la regla de Cramer? Sí. Para un sistema compatible con determinante distinto de cero, los tres métodos arrojan exactamente los mismos valores de $x$ e $y$.

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