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Resultados

Solución del sistema

x = 3, y = 2

solución única (las rectas se cortan)

x	3
y	2
Determinante (a₁b₂ − a₂b₁)	-5

¿Qué es el método de eliminación?

El método de eliminación (también llamado método de reducción o de suma) es una técnica para resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Consiste en multiplicar las ecuaciones por factores adecuados para que, al sumarlas o restarlas, una de las variables se cancele; después se sustituye hacia atrás para hallar la otra. Esta calculadora hace todo el álgebra por ti: introduce los seis coeficientes del sistema a₁x + b₁y = c₁ y a₂x + b₂y = c₂, y te devuelve los valores exactos de x e y.

Dos rectas que se cruzan en un único punto sobre una cuadrícula de coordenadas — Un sistema lineal 2x2 corresponde a dos rectas cuya intersección es la solución (x, y).

Cómo usar la calculadora

Escribe los coeficientes de cada ecuación en las casillas correspondientes. La primera fila es la ecuación 1 (a₁, b₁, c₁) y la segunda fila es la ecuación 2 (a₂, b₂, c₂). Los coeficientes pueden ser negativos o decimales. Pulsa «calcular» para ver la solución junto con el determinante $a_1 b_2 - a_2 b_1$, que indica si el sistema tiene una solución única.

La fórmula explicada

Aplicando la regla de Cramer (equivalente a la eliminación), la solución es:

$$x = \frac{c_1 b_2 - c_2 b_1}{a_1 b_2 - a_2 b_1}, \qquad y = \frac{a_1 c_2 - a_2 c_1}{a_1 b_2 - a_2 b_1}$$

El denominador común $a_1 b_2 - a_2 b_1$ es el determinante de los coeficientes. Si vale cero, las rectas son paralelas: o bien no hay solución (sistema incompatible) o bien hay infinitas (se trata de la misma recta).

Pasos que muestran cómo multiplicar y restar ecuaciones elimina una variable — Escalar las ecuaciones para que los coeficientes de una variable coincidan y luego restarlas elimina esa variable.

Ejemplo resuelto

Resolvamos $2x + 3y = 12$ y $x - y = 1$. Aquí a₁=2, b₁=3, c₁=12, a₂=1, b₂=−1, c₂=1. El determinante es:

$$2(-1) - 1(3) = -5$$

Entonces:

$$x = \frac{12 \cdot (-1) - 1 \cdot 3}{-5} = \frac{-15}{-5} = 3, \qquad y = \frac{2 \cdot 1 - 1 \cdot 12}{-5} = \frac{-10}{-5} = 2$$

Por tanto, $x = 3$, $y = 2$.

Preguntas frecuentes

¿Qué pasa si el determinante es cero? El sistema no tiene solución única. La calculadora comprueba la compatibilidad e indica si «no hay solución» (rectas paralelas) o si hay «infinitas soluciones» (rectas idénticas).

¿Puedo introducir decimales o fracciones? Los decimales funcionan directamente. Convierte primero la fracción a su valor decimal (por ejemplo, $1/2 \to 0{,}5$).

¿Es lo mismo que el método de sustitución? Ambos métodos dan el mismo resultado: la eliminación cancela una variable combinando las ecuaciones, mientras que la sustitución despeja primero una de las variables.

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