Máy Tính Giải Hệ Bằng Phương Pháp Cộng Đại Số

Nhập phép tính

a₁ (hệ số x, pt 1)

b₁ (hệ số y, pt 1)

c₁ (hằng số, pt 1)

a₂ (hệ số x, pt 2)

b₂ (hệ số y, pt 2)

c₂ (hằng số, pt 2)

Kết quả

Nghiệm của hệ

x = 3, y = 2

nghiệm duy nhất (hai đường thẳng cắt nhau)

x	3
y	2
Định thức (a₁b₂ − a₂b₁)	-5

Phương pháp cộng đại số là gì?

Phương pháp cộng đại số (còn gọi là phương pháp khử) là cách giải hệ hai phương trình bậc nhất với hai ẩn số. Bạn nhân các phương trình với hệ số thích hợp sao cho khi cộng hoặc trừ hai phương trình, một ẩn bị triệt tiêu, rồi thế ngược lại để tìm ẩn còn lại. Công cụ này sẽ làm toàn bộ phần tính toán giúp bạn: chỉ cần nhập sáu hệ số của hệ \(a_1 x + b_1 y = c_1\) và \(a_2 x + b_2 y = c_2\), máy sẽ trả về giá trị chính xác của x và y.

Hệ phương trình tuyến tính 2x2 tương ứng với hai đường thẳng, giao điểm của chúng là nghiệm (x, y).

Cách dùng máy tính

Nhập các hệ số của từng phương trình vào ô tương ứng. Hàng đầu tiên là phương trình 1 (a₁, b₁, c₁) và hàng thứ hai là phương trình 2 (a₂, b₂, c₂). Hệ số có thể là số âm hoặc số thập phân. Bấm tính để xem nghiệm cùng với định thức \(a_1 b_2 - a_2 b_1\) — giá trị này cho biết hệ có nghiệm duy nhất hay không.

Giải thích công thức

Áp dụng quy tắc Cramer (tương đương với phương pháp cộng đại số), nghiệm của hệ là

$$x = \frac{c_1\,b_2 - c_2\,b_1}{a_1\,b_2 - a_2\,b_1}, \qquad y = \frac{a_1\,c_2 - a_2\,c_1}{a_1\,b_2 - a_2\,b_1}$$

Mẫu số chung \(a_1 b_2 - a_2 b_1\) chính là định thức của các hệ số. Nếu định thức bằng 0, hai đường thẳng song song — hệ hoặc vô nghiệm (mâu thuẫn), hoặc vô số nghiệm (trùng nhau thành một đường thẳng).

Nhân các phương trình để hệ số của một biến bằng nhau rồi trừ đi sẽ khử biến đó.

Ví dụ minh họa

Giải hệ \(2x + 3y = 12\) và \(x - y = 1\). Ở đây \(a_1=2\), \(b_1=3\), \(c_1=12\), \(a_2=1\), \(b_2=-1\), \(c_2=1\). Định thức là

$$2(-1) - 1(3) = -5$$

Khi đó

$$x = \frac{12\cdot(-1) - 1\cdot 3}{-5} = \frac{-15}{-5} = 3, \qquad y = \frac{2\cdot 1 - 1\cdot 12}{-5} = \frac{-10}{-5} = 2$$

Vậy \(x = 3\), \(y = 2\).

Câu hỏi thường gặp

Nếu định thức bằng 0 thì sao? Hệ không có nghiệm duy nhất. Máy tính sẽ kiểm tra tính tương thích và thông báo "vô nghiệm" (hai đường thẳng song song) hoặc "vô số nghiệm" (hai đường thẳng trùng nhau).

Tôi có thể nhập số thập phân hoặc phân số không? Số thập phân nhập trực tiếp được. Với phân số, hãy đổi sang dạng thập phân trước (ví dụ \(1/2 \to 0{,}5\)).

Phương pháp này có giống phương pháp thế không? Cả hai đều cho cùng một kết quả; phương pháp cộng đại số triệt tiêu một ẩn bằng cách kết hợp hai phương trình, còn phương pháp thế thì rút một ẩn ra trước rồi thay vào.