Phương pháp thế là gì?
Phương pháp thế là một kỹ thuật đại số kinh điển dùng để giải hệ hai phương trình bậc nhất với hai ẩn số. Bạn rút một ẩn từ một phương trình, rồi thay biểu thức đó vào phương trình còn lại, đưa bài toán về một phương trình một ẩn duy nhất. Công cụ này sẽ tự động thực hiện toàn bộ quá trình đó cho hệ tổng quát \(a_1 x + b_1 y = c_1\) và \(a_2 x + b_2 y = c_2\).
Cách sử dụng
Nhập sáu hệ số: \(a_1\), \(b_1\), \(c_1\) của phương trình thứ nhất và \(a_2\), \(b_2\), \(c_2\) của phương trình thứ hai. Nhấn nút tính toán, bạn sẽ nhận được giá trị chính xác của \(x\) và \(y\), kèm theo định thức \(a_1 b_2 - a_2 b_1\) để xác nhận hệ có nghiệm duy nhất hay không.
Giải thích công thức
Từ phương trình thứ nhất, ta có \(x = (c_1 - b_1 y) / a_1\). Thay vào phương trình thứ hai và rút gọn, ta được:
$$x = \frac{c_1 b_2 - c_2 b_1}{a_1 b_2 - a_2 b_1}, \qquad y = \frac{a_1 c_2 - a_2 c_1}{a_1 b_2 - a_2 b_1}$$Khi đã biết \(y\), ta thế ngược lại để tìm \(x\). Mẫu số \(a_1 b_2 - a_2 b_1\) chính là định thức của ma trận hệ số. Nếu định thức bằng 0, hai đường thẳng song song (vô nghiệm) hoặc trùng nhau (vô số nghiệm), nghĩa là hệ không có nghiệm duy nhất.
Ví dụ minh họa
Giải hệ \(2x + 3y = 13\) và \(x - y = -1\). Ở đây \(a_1=2\), \(b_1=3\), \(c_1=13\), \(a_2=1\), \(b_2=-1\), \(c_2=-1\). Định thức:
$$(2)(-1) - (1)(3) = -5$$Tiếp theo:
$$y = \frac{2 \cdot -1 - 1 \cdot 13}{-5} = \frac{-15}{-5} = 3$$Thế ngược lại:
$$x = \frac{13 - 3 \cdot 3}{2} = \frac{4}{2} = 2$$Vậy \(x = 2\), \(y = 3\).
Câu hỏi thường gặp
Nếu định thức bằng 0 thì sao? Hệ phương trình không có nghiệm duy nhất — hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.
Tôi có thể nhập số thập phân hoặc số âm không? Hoàn toàn được. Mọi hệ số thực đều dùng được, kể cả phân số nhập dưới dạng số thập phân.
Kết quả có giống với phương pháp cộng đại số hay quy tắc Cramer không? Có — với một hệ tương thích và định thức khác 0, cả ba phương pháp đều cho ra cùng một nghiệm \(x\) và \(y\).
