Что такое метод подстановки?
Метод подстановки — это классический приём алгебры для решения системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Из одного уравнения вы выражаете одну переменную и подставляете полученное выражение во второе уравнение, сводя задачу к одному уравнению с одной переменной. Этот калькулятор делает всё автоматически для системы общего вида \(a_1 x + b_1 y = c_1\) и \(a_2 x + b_2 y = c_2\).
Как пользоваться
Введите шесть коэффициентов: \(a_1\), \(b_1\), \(c_1\) из первого уравнения и \(a_2\), \(b_2\), \(c_2\) из второго. Нажмите «Рассчитать» — и вы получите точные значения \(x\) и \(y\), а также определитель \(a_1 b_2 - a_2 b_1\), который показывает, существует ли единственное решение.
Разбор формулы
Из первого уравнения выражаем \(x = (c_1 - b_1 y) / a_1\). Подставляя это во второе уравнение и упрощая, получаем $$ x = \frac{c_1 b_2 - c_2 b_1}{a_1 b_2 - a_2 b_1}, \qquad y = \frac{a_1 c_2 - a_2 c_1}{a_1 b_2 - a_2 b_1} $$ Зная \(y\), обратной подстановкой находим \(x\). Знаменатель \(a_1 b_2 - a_2 b_1\) — это определитель матрицы коэффициентов. Если он равен нулю, прямые параллельны (решений нет) или совпадают (бесконечно много решений), и единственного ответа не существует.
Пример с решением
Решим систему \(2x + 3y = 13\) и \(x - y = -1\). Здесь \(a_1=2\), \(b_1=3\), \(c_1=13\), \(a_2=1\), \(b_2=-1\), \(c_2=-1\). Определитель \(= (2)(-1) - (1)(3) = -5\). Тогда $$ y = \frac{2 \cdot -1 - 1 \cdot 13}{-5} = \frac{-15}{-5} = 3 $$ Обратная подстановка: $$ x = \frac{13 - 3 \cdot 3}{2} = \frac{4}{2} = 2 $$ Итак, \(x = 2\), \(y = 3\).
Частые вопросы
Что если определитель равен нулю? У системы нет единственного решения — прямые параллельны или совпадают.
Можно ли вводить дробные и отрицательные числа? Да. Подойдёт любой действительный коэффициент, в том числе дроби, записанные в виде десятичных чисел.
Будет ли ответ таким же, как при методе исключения или по правилу Крамера? Да — для совместной системы с ненулевым определителем все три метода дают одинаковые \(x\) и \(y\).
