Что такое метод Галлея?
Метод Галлея — это итерационный численный приём для решения уравнения вида \(f(x) = 0\). Это «родственник» метода Ньютона — Рафсона третьего порядка (с кубической сходимостью): если метод Ньютона использует только саму функцию и её первую производную, то метод Галлея дополнительно задействует вторую производную. Благодаря этому он, как правило, достигает заданной точности за меньшее число итераций. Это универсальный инструмент математики и численного анализа, применимый где угодно; углы внутри тригонометрических функций интерпретируются в радианах.
Как пользоваться калькулятором
Введите функцию, корень которой нужно найти, в поле \(f(x)\), а затем задайте её первую производную \(f'(x)\) и вторую производную \(f''(x)\) как выражения от \(x\). Поддерживаются операторы +, -, *, / и ^ для возведения в степень, скобки, а также функции sin, cos, tan, asin, acos, atan, sinh, cosh, tanh, exp, log/ln, log10, sqrt и abs и константы pi и e. Выберите начальное приближение \(x_0\) поближе к искомому корню, задайте максимальное число итераций \(n\) и укажите, сколько значащих цифр выводить в результате.
Разбор формулы
На каждом шаге вычисляется $$x_{n+1} = x_n - \frac{2\,f(x_n)\,f^{\prime}(x_n)}{2\,[f^{\prime}(x_n)]^2 - f(x_n)\,f^{\prime\prime}(x_n)}$$ В числителе стоит привычная поправка Ньютона (с масштабным множителем), а дополнительное слагаемое \(-\,f(x_n)\,f^{\prime\prime}(x_n)\) в знаменателе учитывает кривизну функции \(f\) и ускоряет сходимость. Цикл останавливается, когда изменение \(x\) или невязка \(f(x)\) становятся меньше малого допуска, либо когда достигнут предел итераций. Если знаменатель обращается в ноль, метод даёт сбой — в этом случае стоит выбрать другое \(x_0\).
Разобранный пример
Для \(f(x) = x - \cos(x)\), \(f'(x) = 1 + \sin(x)\), \(f''(x) = \cos(x)\) и старта в точке \(x_0 = 1\) первый шаг даёт $$x_1 = 1 - \frac{2 \times 0.4596977 \times 1.8414710}{2 \times 1.8414710^2 - 0.4596977 \times 0.5403023} = 1 - \frac{1.6930504}{6.5336550} = 0.7408769$$ Итерации быстро сходятся к числу Дотти \(x = 0.7390851332151607\) — единственному решению уравнения \(x = \cos(x)\).
Частые вопросы
Чем метод Галлея отличается от метода Ньютона? Метод Ньютона не учитывает кривизну функции, а метод Галлея добавляет слагаемое со второй производной, что даёт кубическую сходимость вместо квадратичной — обычно нужно меньше итераций на каждую верную цифру результата.
Зачем вводить производные вручную? Калькулятор полностью полагается на те производные, которые вы укажете. Если они заданы с ошибкой, сходимость будет плохой или метод вовсе не сработает. Аккуратно продифференцируйте \(f(x)\), чтобы получить \(f'(x)\) и \(f''(x)\).
Что делать, если сходимости нет? Метод находит корень, ближайший к \(x_0\). Неудачное начальное приближение может привести к расхождению или к другому корню, а обнуление знаменателя полностью останавливает процесс. Измените \(x_0\) или перепроверьте выражения для производных.
