Что такое задача на избыток и недостаток?
Задача на избыток и недостаток (в японской начальной школе её называют «кабусоку-дзан») — это классическая арифметическая головоломка: группа людей делит между собой фиксированное число предметов двумя разными способами. В первом случае каждому достаётся определённое количество предметов, и часть остаётся лишней (избыток) или, наоборот, до полной раздачи чего-то не хватает (недостаток). Во втором случае каждый получает другое количество, и снова возникает избыток или нехватка. По этим двум условиям можно точно вычислить, сколько было людей и сколько предметов всего. В классической формулировке друзья собирают каштаны и делят их между собой, но та же математика работает для любой задачи на распределение.
Как пользоваться калькулятором
Введите, сколько предметов приходится на одного человека в каждом из двух случаев, а затем укажите получившийся избыток или недостаток. Соблюдайте правило знаков: оставшийся избыток записывается положительным числом, а нехватка (не хватило) — отрицательным. Калькулятор вернёт число людей и общее количество предметов либо предупредит, если данные противоречат друг другу.
Разбор формулы
Обозначим \(n\) — число людей, а \(T\) — общее число предметов. Для каждого случая общее количество равно (норма на человека, умноженная на число людей) плюс остаток со знаком: \(T = \text{норма}_1 \times n + \text{остаток}_1\) и \(T = \text{норма}_2 \times n + \text{остаток}_2\). Приравняв эти выражения и решив уравнение, получаем $$n = \frac{\text{остаток}_2 - \text{остаток}_1}{\text{норма}_1 - \text{норма}_2}.$$ Затем $$T = \text{норма}_1 \times n + \text{остаток}_1.$$ Две нормы обязательно должны различаться, иначе однозначного ответа не существует.
Пример решения
Каждому достаётся по 5 предметов, и 3 остаётся (\(\text{норма}_1 = 5\), \(\text{остаток}_1 = +3\)); каждому достаётся по 7 предметов, но 3 не хватает (\(\text{норма}_2 = 7\), \(\text{остаток}_2 = -3\)). Тогда $$n = \frac{-3 - 3}{5 - 7} = \frac{-6}{-2} = 3 \text{ человека},$$ а $$T = 5 \times 3 + 3 = 18 \text{ предметов}.$$ Проверка: \(7 \times 3 - 3 = 18\). Значит, 3 человека собрали 18 каштанов.
Частые вопросы
Что будет, если ввести одинаковые нормы? Знаменатель обращается в ноль, и однозначного решения не существует, поэтому калькулятор сообщит об ошибке.
Почему ответ должен быть целым числом? Людей и предметы считают в целых единицах; дробный результат означает, что введённые данные не образуют корректную задачу.
Важно ли правило знаков? Да. Всегда вводите избыток со знаком «плюс», а недостаток — со знаком «минус», чтобы уравнения сошлись правильно.
