Bài toán thừa thiếu là gì?
Bài toán thừa thiếu (trong toán tiểu học Nhật Bản gọi là "kabusoku-zan") là một dạng toán đố cổ điển: một nhóm người cùng chia một số đồ vật cố định theo hai cách khác nhau. Ở cách thứ nhất, mỗi người nhận một số phần nhất định, kết quả là dư ra vài món (thừa) hoặc không đủ (thiếu); ở cách thứ hai, mỗi người nhận một số phần khác, và lại có phần thừa hoặc thiếu. Từ hai dữ kiện này, ta tính được chính xác có bao nhiêu người và tổng cộng bao nhiêu đồ vật. Một phiên bản quen thuộc ở Nhật kể về mấy người bạn đi nhặt hạt dẻ rồi chia nhau, nhưng cách tính áp dụng được cho mọi bài toán chia phần. Ở Việt Nam, dạng bài này cũng rất hay gặp trong các đề toán bồi dưỡng tiểu học.
Cách dùng công cụ tính
Nhập số phần mỗi người nhận được cho từng trường hợp trong hai trường hợp, sau đó nhập phần thừa hoặc thiếu tương ứng. Hãy lưu ý quy ước dấu: phần dư ra (thừa) ghi bằng số dương, còn phần không đủ (thiếu) ghi bằng số âm. Công cụ sẽ trả về số người và tổng số đồ vật, hoặc báo lỗi nếu dữ liệu nhập vào không hợp lý.
Giải thích công thức
Gọi \(n\) là số người và \(T\) là tổng số đồ vật. Mỗi trường hợp cho ta phương trình: tổng số bằng (số phần mỗi người nhân số người) cộng với phần dôi dư có dấu: $$T = \text{phần}_1 \times n + \text{kết quả}_1$$ và $$T = \text{phần}_2 \times n + \text{kết quả}_2.$$ Cho hai vế bằng nhau rồi giải ra, ta được $$n = \frac{\text{kết quả}_2 - \text{kết quả}_1}{\text{phần}_1 - \text{phần}_2}.$$ Sau đó \(T = \text{phần}_1 \times n + \text{kết quả}_1\). Lưu ý hai số phần mỗi người phải khác nhau, nếu không sẽ không có nghiệm duy nhất.
Ví dụ minh họa
Mỗi người nhận 5 món thì dư 3 món (phần1 = 5, kết quả1 = +3); mỗi người nhận 7 món thì thiếu 3 món (phần2 = 7, kết quả2 = −3). Khi đó $$n = \frac{-3 - 3}{5 - 7} = \frac{-6}{-2} = 3 \text{ người},$$ và $$T = 5 \times 3 + 3 = 18 \text{ món}.$$ Kiểm tra lại: \(7 \times 3 - 3 = 18\). Vậy 3 người đã nhặt được 18 hạt dẻ.
Câu hỏi thường gặp
Nếu nhập hai số phần bằng nhau thì sao? Mẫu số sẽ bằng 0 và bài toán không có nghiệm duy nhất, nên công cụ sẽ báo lỗi.
Vì sao kết quả phải là số nguyên? Số người và số đồ vật đều được đếm theo đơn vị nguyên; nếu kết quả ra phân số nghĩa là dữ liệu nhập vào không tạo thành một bài toán hợp lệ.
Quy ước dấu có quan trọng không? Có. Luôn nhập phần thừa là số dương và phần thiếu là số âm để các phương trình cân bằng đúng.
