Qu'est-ce que le problème d'excédent et de déficit ?
Le problème d'excédent et de déficit (appelé « kabusoku-zan » dans les mathématiques de l'école primaire au Japon) est un grand classique de l'arithmétique : un groupe de personnes se partage un nombre fixe d'objets de deux manières différentes. Dans un premier scénario, chaque personne reçoit un certain nombre d'objets et il en reste (un excédent) ou il en manque (un déficit) ; dans un second scénario, chacun reçoit un nombre différent, ce qui laisse là encore un surplus ou un manque. À partir de ces deux informations, on peut déterminer exactement combien il y a de personnes et combien d'objets au total. Une version souvent racontée met en scène des amis qui ramassent des châtaignes et se les partagent, mais le raisonnement s'applique à n'importe quel problème de répartition.
Comment utiliser le calculateur
Indiquez le nombre d'objets par personne pour chacun des deux scénarios, puis l'excédent ou le déficit obtenu dans chaque cas. Respectez la convention de signe : un surplus restant se note avec un nombre positif, et un manque (pas assez) avec un nombre négatif. Le calculateur vous renvoie le nombre de personnes et le nombre total d'objets, ou vous prévient si les données sont incohérentes.
La formule expliquée
Soit \(n\) le nombre de personnes et \(T\) le total d'objets. Chaque scénario indique que le total est égal au (nombre par personne multiplié par le nombre de personnes) plus le reste signé :
$$T = \text{taux}_1 \times n + \text{résultat}_1 \qquad T = \text{taux}_2 \times n + \text{résultat}_2$$En égalisant les deux expressions et en résolvant, on obtient
$$n = \frac{\text{résultat}_2 - \text{résultat}_1}{\text{taux}_1 - \text{taux}_2}$$Puis \(T = \text{taux}_1 \times n + \text{résultat}_1\). Les deux taux doivent être différents, sinon il n'existe pas de réponse unique.
Exemple résolu
Chaque personne reçoit 5 objets et il en reste 3 (\(\text{taux}_1 = 5\), \(\text{résultat}_1 = +3\)) ; chacune reçoit 7 objets mais il en manque 3 (\(\text{taux}_2 = 7\), \(\text{résultat}_2 = -3\)). On a alors
$$n = \frac{-3 - 3}{5 - 7} = \frac{-6}{-2} = 3 \text{ personnes}$$et
$$T = 5 \times 3 + 3 = 18 \text{ objets}$$Vérification : \(7 \times 3 - 3 = 18\). Donc 3 personnes ont ramassé 18 châtaignes.
FAQ
Que se passe-t-il si je saisis des taux identiques ? Le dénominateur devient nul et il n'existe pas de solution unique : le calculateur signale alors une erreur.
Pourquoi le résultat doit-il être un nombre entier ? Les personnes et les objets se comptent en unités entières ; un résultat fractionnaire signifie que les données ne forment pas un problème valide.
La convention de signe est-elle importante ? Oui. Saisissez toujours un excédent en positif et un déficit en négatif pour que les équations soient correctement équilibrées.
