À quoi sert ce calculateur
Voici un outil d'entraînement pour un grand classique des problèmes d'algèbre : trois personnes dont les âges sont reliés par deux écarts d'âge et un total connu. Par exemple : « Marie a 2 ans de moins qu'Alex, et Alex a 7 ans de plus que Sam. Si la somme de leurs âges est de 75, trouvez l'âge de chacun. » Vous posez le problème, vous le résolvez sur papier, vous saisissez vos trois réponses, et l'outil corrige chacune d'elles tout en affichant la solution entièrement détaillée.
Comment l'utiliser
Indiquez les trois prénoms, les deux écarts d'âge et les relations « plus jeune / plus âgé », puis le total des trois âges. Saisissez ensuite l'âge que vous avez trouvé pour chaque personne. Le calculateur indique si chaque réponse est juste ou fausse et dévoile le raisonnement algébrique. C'est un outil pédagogique générique, qui ne dépend d'aucun pays et n'utilise pas d'autre unité que l'année.
La formule expliquée
Prenez la personne du milieu (Personne 2) comme variable pivot \(x\). Traduisez chaque énoncé à l'aide d'un signe : « plus âgé » ajoute l'écart (+1), « plus jeune » le retranche (−1). On a alors \(\text{Personne 1} = x + s_1 d_1\) et \(\text{Personne 3} = x - s_2 d_2\). En additionnant les trois âges, on obtient $$3x + s_1 d_1 - s_2 d_2 = S,$$ d'où $$x = \dfrac{S - s_1 d_1 + s_2 d_2}{3}.$$ Les deux autres âges se déduisent directement des relations.
Exemple résolu
Avec Marie qui a 2 ans de moins qu'Alex (\(s_1 = -1\), \(d_1 = 2\)) et Alex qui a 7 ans de plus que Sam (\(s_2 = +1\), \(d_2 = 7\)), pour une somme de 75 : $$\text{Alex} = \frac{75 - (-1 \times 2) + (1 \times 7)}{3} = \frac{75 + 2 + 7}{3} = \frac{84}{3} = 28.$$ Donc \(\text{Marie} = 28 - 2 = 26\) et \(\text{Sam} = 28 - 7 = 21\). Vérification : \(26 + 28 + 21 = 75\).
Définitions et Glossaire
- Personne 1, Personne 2, Personne 3 — les trois personnes du problème. La Personne 2 est choisie comme personne de référence (pivot) ; la Personne 1 et la Personne 3 ont chacune leur âge indiqué relativement à la Personne 2.
- Variable pivot \(x\) (âge de la Personne 2) — l'unique inconnue à laquelle le problème est réduit. Une fois \(x\) trouvé, les deux autres âges découlent directement des différences.
- \(d_1\), \(d_2\) (différences d'âge) — les deux écarts donnés en années : \(d_1\) est la différence entre la Personne 1 et la Personne 2, et \(d_2\) est la différence entre la Personne 3 et la Personne 2. Les deux sont entrés comme nombres positifs ; la direction est portée par le signe.
- \(s_1\), \(s_2\) (facteurs de signe) — chacun égale \(+1\) quand cette personne est plus âgée que la Personne 2 et \(-1\) quand plus jeune. Ils convertissent la relation parlée (« plus âgé »/« plus jeune ») en algèbre : Personne 1 \(= x + s_1 d_1\), Personne 3 \(= x + s_2 d_2\).
- \(S\) (somme des âges) — le total connu des trois âges, \(S = P_1 + P_2 + P_3\). C'est la constante qui permet de résoudre l'équation unique.
- Formule pivot — en combinant les trois âges relatifs et le total, on obtient \(\,3x + s_1 d_1 + s_2 d_2 = S\,\), c'est-à-dire \(\,x = \dfrac{S - s_1 d_1 - s_2 d_2}{3}\,\) ; chaque âge est ensuite récupéré et la somme révérifiée contre \(S\).
FAQ
Pourquoi la Personne 2 sert-elle de pivot ? Les deux énoncés se rapportent à la Personne 2 ; la choisir comme inconnue permet de tout ramener à une seule variable.
Et si mes nombres ne donnent pas une réponse entière ? Pour obtenir un problème « propre », choisissez les écarts et la somme de sorte que \((S - s_1 d_1 + s_2 d_2)\) soit divisible par 3 et que tous les âges soient positifs.
L'outil corrige-t-il mon raisonnement ou seulement les âges finaux ? Il compare chaque âge saisi à la valeur correcte et affiche la résolution complète, afin que vous puissiez vérifier votre démarche.
