यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह बीजगणित की एक क्लासिक शब्द-समस्या के अभ्यास का साधन है: तीन लोग जिनकी आयु दो आयु-अंतरों और एक ज्ञात योग से जुड़ी होती है। उदाहरण के लिए, "मीरा, अर्जुन से 2 साल छोटी है, और अर्जुन, सोहन से 7 साल बड़ा है। अगर तीनों की आयु का योग 75 है, तो हर एक की आयु ज्ञात कीजिए।" आप समस्या को सेट करते हैं, कागज़ पर हल करते हैं, अपने तीनों उत्तर भरते हैं, और यह साधन हर उत्तर को जाँचकर पूरा हल चरण-दर-चरण दिखा देता है।
इसका उपयोग कैसे करें
तीनों नाम, दोनों आयु-अंतर, और छोटा/बड़ा होने का संबंध भरें, साथ ही तीनों की आयु का कुल योग दर्ज करें। फिर हर व्यक्ति के लिए अपनी अनुमानित आयु टाइप करें। कैलकुलेटर हर उत्तर को सही या गलत बताता है और पूरा बीजगणित खोलकर दिखाता है। यह एक सामान्य शिक्षण साधन है और किसी देश या वर्षों के अलावा किसी इकाई से बंधा हुआ नहीं है।
सूत्र की व्याख्या
बीच वाले व्यक्ति (व्यक्ति 2) को आधार चर \(x\) मान लें। हर कथन को एक चिह्न के साथ अनुवाद करें: "बड़ा" होने पर अंतर जुड़ता है (\(+1\)), "छोटा" होने पर घटता है (\(-1\))। तब व्यक्ति 1 \(= x + s_1 d_1\) और व्यक्ति 3 \(= x - s_2 d_2\) होगा। तीनों आयु जोड़ने पर $$3x + s_1 d_1 - s_2 d_2 = S$$ मिलता है, इसलिए $$x = \dfrac{S - s_1 d_1 + s_2 d_2}{3}.$$ बाकी की आयु सीधे इन संबंधों से निकल आती है।
हल किया गया उदाहरण
मान लें मीरा, अर्जुन से 2 साल छोटी है (\(s_1 = -1\), \(d_1 = 2\)) और अर्जुन, सोहन से 7 साल बड़ा है (\(s_2 = +1\), \(d_2 = 7\)), और योग 75 है: $$\text{अर्जुन} = \frac{75 - (-1 \times 2) + (1 \times 7)}{3} = \frac{75 + 2 + 7}{3} = \frac{84}{3} = 28.$$ तो मीरा \(= 28 - 2 = 26\) और सोहन \(= 28 - 7 = 21\)। जाँच: \(26 + 28 + 21 = 75\)।
परिभाषाएं और शब्दावली
- व्यक्ति 1, व्यक्ति 2, व्यक्ति 3 — शब्द समस्या में तीन लोग। व्यक्ति 2 को संदर्भ (धुरी) व्यक्ति के रूप में चुना जाता है; व्यक्ति 1 और व्यक्ति 3 में से प्रत्येक की आयु व्यक्ति 2 के सापेक्ष दी गई है।
- धुरी चर \(x\) (व्यक्ति 2 की आयु) — एकमात्र अज्ञात जिससे समस्या में कमी आई है। एक बार \(x\) मिल जाने के बाद, अन्य दोनों आयु सीधे अंतर से मिलती हैं।
- \(d_1\), \(d_2\) (आयु अंतर) — दो दिए गए वर्षों के अंतराल: \(d_1\) यह है कि व्यक्ति 1 व्यक्ति 2 से कितना भिन्न है, और \(d_2\) यह है कि व्यक्ति 3 व्यक्ति 2 से कितना भिन्न है। दोनों को सकारात्मक संख्याओं के रूप में दर्ज किया जाता है; दिशा संकेत द्वारा दी गई है।
- \(s_1\), \(s_2\) (संकेत कारक) — प्रत्येक \(+1\) के बराबर होता है जब वह व्यक्ति व्यक्ति 2 से बड़ा हो और \(-1\) जब छोटा हो। वे बोली गई संबंध ("बड़ा"/"छोटा") को बीजगणित में बदलते हैं: व्यक्ति 1 \(= x + s_1 d_1\), व्यक्ति 3 \(= x + s_2 d_2\)।
- \(S\) (आयु का योग) — तीनों आयु का ज्ञात कुल, \(S = P_1 + P_2 + P_3\)। यह स्थिरांक है जो एकल समीकरण को हल करने देता है।
- धुरी सूत्र — तीन सापेक्ष आयु और कुल को जोड़ने से \(\,3x + s_1 d_1 + s_2 d_2 = S\,\) मिलता है, अर्थात् \(\,x = \dfrac{S - s_1 d_1 - s_2 d_2}{3}\,\); प्रत्येक आयु तब पुनः प्राप्त की जाती है और योग की \(S\) के विरुद्ध फिर से जांच की जाती है।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
व्यक्ति 2 को ही आधार क्यों चुना जाता है? दोनों कथन व्यक्ति 2 से जुड़े हैं, इसलिए उन्हें अज्ञात मानने पर पूरा बीजगणित एक ही चर में सिमट जाता है।
अगर मेरे आँकड़े पूर्ण संख्या में उत्तर न दें तो? साफ-सुथरी समस्या के लिए अंतर और योग ऐसे चुनें कि \((S - s_1 d_1 + s_2 d_2)\) 3 से विभाज्य हो और सभी आयु धनात्मक हों।
क्या यह मेरे पूरे हल को जाँचता है या सिर्फ़ अंतिम आयु को? यह आपकी भरी हुई हर आयु की सही मान से तुलना करता है और पूरा हल दिखाता है ताकि आप अपनी तर्क-प्रक्रिया भी जाँच सकें।
