ماذا تفعل هذه الحاسبة
هذه أداة تدريب على مسألة جبرية كلاسيكية في المسائل الكلامية: ثلاثة أشخاص ترتبط أعمارهم بفرقين عمريين ومجموع معلوم. على سبيل المثال: «مريم أصغر من علاء بسنتين، وعلاء أكبر من سامي بسبع سنوات. إذا كان مجموع أعمارهم 75، فأوجد عمر كل منهم.» تقوم أنت بصياغة المسألة وحلها على الورق، ثم تُدخل إجاباتك الثلاث، فتصحّح الأداة كل إجابة وتعرض الحل الكامل مُفصّلاً.
كيفية الاستخدام
أدخل الأسماء الثلاثة، والفرقين العمريين، وعلاقة كل شخص (أصغر/أكبر)، إضافة إلى مجموع الأعمار الثلاثة. ثم اكتب الأعمار التي توصّلت إليها لكل شخص. تُحدّد الحاسبة كل إجابة بأنها صحيحة أو خاطئة، وتكشف لك خطوات الحل الجبري. وهي أداة تعليمية عامة لا ترتبط بأي بلد أو وحدات سوى السنوات.
شرح القانون
اختر الشخص الأوسط (الشخص 2) ليكون المتغير المحوري \(x\). ترجم كل عبارة باستخدام إشارة: «أكبر» تضيف الفرق (+1)، و«أصغر» تطرحه (−1). عندها يكون الشخص 1 \(= x + s_1 d_1\)، والشخص 3 \(= x - s_2 d_2\). وبجمع الأعمار الثلاثة نحصل على $$3x + s_1 d_1 - s_2 d_2 = S$$ ومنها $$x = \dfrac{S - s_1 d_1 + s_2 d_2}{3}$$ أما العمران الباقيان فيُستنتجان مباشرة من العلاقات.
مثال محلول
بفرض أن مريم أصغر من علاء بسنتين (\(s_1 = -1\)، \(d_1 = 2\))، وأن علاء أكبر من سامي بسبع سنوات (\(s_2 = +1\)، \(d_2 = 7\))، والمجموع 75: $$\text{عمر علاء} = \frac{75 - (-1 \times 2) + (1 \times 7)}{3} = \frac{75 + 2 + 7}{3} = \frac{84}{3} = 28$$ إذًا عمر مريم \(= 28 - 2 = 26\)، وعمر سامي \(= 28 - 7 = 21\). التحقق: \(26 + 28 + 21 = 75\).
التعاريف والمصطلحات
- الشخص 1، الشخص 2، الشخص 3 — الأشخاص الثلاثة في مسألة الكلمات. يتم اختيار الشخص 2 كشخص مرجعي (محوري)؛ يتم التعبير عن عمر الشخص 1 والشخص 3 كل منهما بالنسبة إلى الشخص 2.
- المتغير المحوري \(x\) (عمر الشخص 2) — المجهول الوحيد التي يتم اختزال المسألة إليه. بمجرد إيجاد \(x\)، يتبع العمران الآخران مباشرة من الفروقات.
- \(d_1\)، \(d_2\) (فروقات الأعمار) — الفجوتان المعطاتان بالسنوات: \(d_1\) هو مقدار اختلاف الشخص 1 عن الشخص 2، و\(d_2\) هو مقدار اختلاف الشخص 3 عن الشخص 2. يتم إدخالهما كأرقام موجبة؛ الاتجاه يحمله الإشارة.
- \(s_1\)، \(s_2\) (عوامل الإشارة) — كل منهما يساوي \(+1\) عندما يكون ذلك الشخص أكبر عمراً من الشخص 2 و\(-1\) عندما يكون أصغر عمراً. يحولان العلاقة المنطوقة ("أكبر عمراً"/"أصغر عمراً") إلى جبر: الشخص 1 \(= x + s_1 d_1\)، الشخص 3 \(= x + s_2 d_2\).
- \(S\) (مجموع الأعمار) — الإجمالي المعروف لجميع الأعمار الثلاثة، \(S = P_1 + P_2 + P_3\). إنها الثابتة التي تسمح بحل المعادلة الوحيدة.
- الصيغة المحورية — دمج الأعمار النسبية الثلاثة والإجمالي يعطي \(\,3x + s_1 d_1 + s_2 d_2 = S\,\)، أي \(\,x = \dfrac{S - s_1 d_1 - s_2 d_2}{3}\,\)؛ يتم استرجاع كل عمر بعد ذلك وإعادة التحقق من المجموع مقابل \(S\).
الأسئلة الشائعة
لماذا يكون الشخص 2 هو المحور؟ لأن كلتا العبارتين تربطان الشخص 2 بالآخرين، فاختياره كمجهول يُبقي الحل ضمن متغير واحد فقط.
ماذا لو لم تُعطِ أرقامي ناتجًا صحيحًا؟ للحصول على مسألة سليمة، اختر الفروق والمجموع بحيث يكون \((S - s_1 d_1 + s_2 d_2)\) قابلاً للقسمة على 3 وتكون جميع الأعمار موجبة.
هل تُصحّح خطواتي أم النتيجة النهائية فقط؟ تقارن كل عمر تُدخله بالقيمة الصحيحة وتعرض الحل الكامل لتتمكن من مراجعة طريقة تفكيرك.
