ما هي مسألة المجموع والفرق؟
تطرح مسألة المجموع والفرق سؤالًا بسيطًا: إذا كنت تعرف مجموع عددين والفرق بينهما، فما هما هذان العددان؟ وهذا النمط من المسائل اللفظية الحسابية يُدرَّس في المرحلة الابتدائية في اليابان تحت اسم "واسازان" (حيث "وا" تعني المجموع و"سا" تعني الفرق). ومع أن التسمية مرتبطة بثقافة محددة، إلا أن الرياضيات الكامنة وراءها جبرٌ خالص وعالمي يصلح لأي متعلّم في أي مكان.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخِل مجموع العددين ثم الفرق بينهما (أي العدد الأكبر ناقص العدد الأصغر). تعرض لك الحاسبة على الفور كلًّا من العدد الأكبر والعدد الأصغر. ويُكتب الفرق عادةً كقيمة غير سالبة؛ فإن أدخلت قيمة سالبة، فستُستخدَم قيمتها المطلقة تلقائيًا.
شرح الصيغة الرياضية
لنفترض أن العدد الأكبر هو أ والعدد الأصغر هو ب. عندئذٍ تتوفر لدينا حقيقتان:
\( \text{أ} + \text{ب} = \text{م} \) (المجموع)، و \( \text{أ} - \text{ب} = \text{ف} \) (الفرق).
بجمع المعادلتين معًا يُحذف الحدّان المتعلقان بـب: \( 2\text{أ} = \text{م} + \text{ف} \)، ومن ثَمّ يكون العدد الأكبر $$\text{أ} = \frac{\text{م} + \text{ف}}{2}$$ وبطرح إحداهما من الأخرى يُحذف الحدّان المتعلقان بـأ: \( 2\text{ب} = \text{م} - \text{ف} \)، فيكون العدد الأصغر $$\text{ب} = \frac{\text{م} - \text{ف}}{2}$$ وبما أننا نقسم دائمًا على الثابت 2، فلا يوجد أي خطر للقسمة على صفر.
مثال محلول
عددان مجموعهما 15 والفرق بينهما 3. العدد الأكبر $$= \frac{15 + 3}{2} = \frac{18}{2} = 9$$ والعدد الأصغر $$= \frac{15 - 3}{2} = \frac{12}{2} = 6$$ وللتحقق: \( 9 + 6 = 15 \)، و \( 9 - 6 = 3 \). وكلا الشرطين يتحقق.
الأسئلة الشائعة
هل يمكن أن تكون الإجابات أعدادًا عشرية؟ نعم. عندما لا يتساوى المجموع والفرق في الزوجية (أي أحدهما زوجي والآخر فردي)، تأتي النتائج غير صحيحة. فمثلًا، مجموع قدره 10 وفرق قدره 3 يعطيان 6.5 و3.5، وهي نتيجة سليمة تمامًا.
ماذا لو كان الفرق صفرًا؟ عندئذٍ يكون العددان متساويين، وكلٌّ منهما يساوي \( \text{م} \div 2 \).
هل يمكن أن تكون النتيجة سالبة؟ رياضيًا تصلح الصيغة لأي أعداد حقيقية، فإذا تجاوز الفرق المجموع، جاء العدد الأصغر سالبًا. أما في التفسير المعتاد القائم على "عددين موجبين"، فاحرص على ألا يكون الفرق أكبر من المجموع.
