حاسبة التوزيع الطبيعي العكسي

أدخل الحساب

الاحتمال (من 0 إلى 1):

المتوسط (μ):

الانحراف المعياري (σ):

نتائج

القيمة الطبيعية العكسية

١٫٦٤٤٩

الاحتمال المُدخَل	٠٫٩٥
المتوسط المُدخَل (μ)	٠
الانحراف المعياري المُدخَل (σ)	١
المئين	٩٥%
درجة Z	١٫٦٤٤٩

ماذا تفعل حاسبة التوزيع الطبيعي العكسي؟

تجيب هذه الحاسبة عن سؤال إحصائي شائع لكن بالاتجاه المعاكس: فبدلًا من أن تسأل «ما احتمال الحصول على قيمة أقل من x؟»، تسأل «ما القيمة التي تقع تحتها نسبة احتمال معينة؟». كل ما عليك هو إدخال الاحتمال التراكمي ومعطيات التوزيع الطبيعي، لتعيد لك الأداة القيمة المقابلة (القيمة الطبيعية العكسية) ومئينها ودرجة Z المطابقة. وتُستخدم هذه الحاسبة على نطاق واسع في الدراسة الجامعية، ومراقبة الجودة، والتمويل (القيمة المعرّضة للمخاطر)، والاختبارات المعيارية.

The inverse normal finds the value x such that the shaded area (probability p) lies to its left.

المُدخلات الثلاثة

• الاحتمال (من 0 إلى 1): هو المساحة التراكمية الواقعة على يسار القيمة التي تبحث عنها. فمثلًا، القيمة 0.95 تعني «القيمة التي تقع تحتها 95% من التوزيع». ويجب أن تكون هذه القيمة محصورة تمامًا بين 0 و1.
• المتوسط (μ): هو مركز التوزيع الطبيعي.
• الانحراف المعياري (σ): يقيس مدى تشتت التوزيع، ويجب أن يكون أكبر من 0.

المعادلة

تحسب الأداة دالة التوزيع التراكمي العكسية (دالة المئين) لتوزيع طبيعي بقيمتي μ و σ اللتين تُدخِلهما:

• القيمة الطبيعية العكسية: x = Φ⁻¹(p; μ, σ) — أي القيمة التي يساوي عندها الاحتمال التراكمي p.
• المئين: الاحتمال × 100.
• درجة Z: z = (x − μ) / σ — أي عدد الانحرافات المعيارية التي تبعدها x عن المتوسط.

وفي الخلفية، تعتمد الأداة على معكوس التوزيع الطبيعي المعياري، ثم تقوم بعملية تحجيم وإزاحة: x = μ + σ · z، حيث تقابل z الاحتمال p.

اعلان

Probability p maps to a z-score, which is scaled by σ and shifted by μ to give x.

مثال محلول

لنفترض أن درجات اختبار ما تتبع توزيعًا طبيعيًا بمتوسط (μ) قدره 70 وانحراف معياري (σ) قدره 8، وأنك ترغب في معرفة المئين التسعين. أدخل: الاحتمال = 0.90، والمتوسط = 70، والانحراف المعياري = 8.

• درجة Z المعيارية المقابلة للاحتمال 0.90 تساوي نحو 1.2816.
• القيمة الطبيعية العكسية: 70 + 8 × 1.2816 ≈ 80.25.
• المئين: 0.90 × 100 = 90%.
• درجة Z: (80.25 − 70) / 8 ≈ 1.28.

إذًا، درجة تقارب 80.25 تضع الطالب عند المئين التسعين.

الأسئلة الشائعة

لماذا يجب أن يكون الاحتمال محصورًا تمامًا بين 0 و1؟ يمتد التوزيع الطبيعي إلى ما لا نهاية في الاتجاهين، لذا فإن الاحتمال الذي يساوي 0 أو 1 بالضبط يقابل اللانهاية الموجبة أو السالبة. ولهذا لا تقبل الحاسبة سوى القيم الواقعة داخل هذا المجال المفتوح.

ماذا لو تركتُ المتوسط والانحراف المعياري على القيمتين المعياريتين؟ إذا أدخلت المتوسط = 0 والانحراف المعياري = 1، فإن القيمة الطبيعية العكسية تساوي درجة Z مباشرةً، فتحصل بذلك على مئين التوزيع الطبيعي المعياري الكلاسيكي.

ماذا تعني النتيجة السالبة؟ إذا كان الاحتمال أقل من 0.5، فإن القيمة تقع على يسار المتوسط، ما ينتج عنه درجة Z سالبة وقيمة أصغر من μ. وهذا أمر متوقع تمامًا وليس خطأ.