反常態分布計算器（Inverse Normal）

輸入計算

機率（0 到 1）：

平均數（μ）：

標準差（σ）：

結果

反常態值

1.6449

輸入的機率	0.95
輸入的平均數（μ）	0
輸入的標準差（σ）	1
百分位數	95%
Z 分數	1.6449

反常態分布計算器的用途

這個計算器把常見的統計問題反過來算：一般我們問「小於 x 的機率是多少？」，而它要回答的是「在指定機率下，對應的數值是多少？」。只要輸入累積機率，以及常態分布的兩個參數，工具就會回傳對應的資料數值（反常態值）、所在的百分位數，以及相符的 z 分數。這類計算廣泛應用於課業學習、品質管制、財務領域（風險值 VaR）以及標準化測驗分析。

The inverse normal finds the value x such that the shaded area (probability p) lies to its left.

三個必填欄位

• 機率（0 到 1）：指你要查詢的數值左側所涵蓋的累積面積。例如 0.95 代表「整個分布有 95% 落在這個數值以下」。數值必須嚴格介於 0 與 1 之間。
• 平均數（μ）：常態分布的中心位置。
• 標準差（σ）：分布的離散程度，數值必須大於 0。

計算公式

本工具會依你輸入的 μ 與 σ，計算常態分布的反累積分布函數（即分位數函數）：

• 反常態值：x = Φ⁻¹(p; μ, σ)——累積機率剛好等於 p 的那個數值。
• 百分位數：機率 × 100。
• Z 分數：z = (x − μ) / σ——表示 x 距離平均數有幾個標準差。

計算原理是先求標準常態的反函數，再進行縮放與平移：x = μ + σ · z，其中 z 對應到機率 p。

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Probability p maps to a z-score, which is scaled by σ and shifted by μ to give x.

實例演練

假設某次考試成績呈常態分布，平均數（μ）為 70、標準差（σ）為 8，你想知道第 90 百分位的分數。請輸入機率＝0.90、平均數＝70、標準差＝8。

• 對應機率 0.90 的標準常態 z 分數約為 1.2816。
• 反常態值：70 + 8 × 1.2816 ≈ 80.25。
• 百分位數：0.90 × 100 = 90%。
• Z 分數：(80.25 − 70) / 8 ≈ 1.28。

也就是說，約 80.25 分的成績，正好落在第 90 百分位。

常見問題

為什麼機率一定要嚴格介於 0 與 1 之間？常態分布在兩端都會無限延伸，因此機率剛好等於 0 或 1 時，對應的數值會是正、負無限大。所以本計算器只接受落在這個開區間內的數值。

如果平均數與標準差維持標準值會怎樣？當你輸入平均數＝0、標準差＝1 時，反常態值會直接等於 z 分數，也就是得到經典的標準常態分位數。

算出負值代表什麼？當機率低於 0.5 時，對應數值會落在平均數左側，因此會得到負的 z 分數，以及小於 μ 的數值。這是正常結果，並非錯誤。