這款常態分布計算器能做什麼
常態分布（又稱高斯分布或鐘形曲線）描述了許多自然與統計量——身高、考試成績、測量誤差——如何對稱地集中在平均值附近。這款計算器以曲線上的某一個點為基準，一次告訴你三件事：你輸入的 X 值的機率密度、到該點為止的累積機率，以及它的 Z 分數。你只需要三個輸入值就能開始。
- 平均數（μ）：分布的中心位置，也就是曲線最高點所在之處。
- 標準差（σ）：資料分散的程度，數值必須大於 0。
- X 值：你想評估的分布上的特定點。
背後的公式
機率密度函數（PDF）為：
f(x) = (1 / (σ√(2π))) · e^(−½((x−μ)/σ)²)
計算器會在你的 X 值處代入這個 PDF，計算累積分布函數（CDF）——也就是曲線從 −∞ 累積到 X 的面積，亦即數值小於或等於 X 的機率——並透過下列公式求得 Z 分數：
- z = (x − μ) / σ——表示 X 距離平均數有幾個標準差。
它也會在 μ ± 4σ 的範圍內繪出鐘形曲線，讓你一眼看出你的 X 值落在哪裡。
範例試算
假設某次考試成績的平均數（μ）為 70、標準差（σ）為 10，而你想評估 X 值為 85 的情況。
- Z 分數：(85 − 70) / 10 = 1.5
- PDF f(85)：≈ 0.0130——曲線在 85 處的高度。
- CDF：≈ 0.9332——代表約 93.3% 的成績落在 85 以下，因此大約只有 6.7% 的人考得更高。
由此可立即得知，85 分的成績位居全班前 7%。
常見問題
PDF 與 CDF 有什麼差別？PDF 給出的是某一個精確點的相對可能性（曲線高度），而 CDF 給出的則是到 X（含）為止所有數值的累積機率。若要求機率，通常會看 CDF。
為什麼標準差必須大於 0？標準差為零代表完全沒有變異，會讓公式發生除以零的情況。分布唯有在分散程度為正值時才有意義。
如何求出大於 X 值的機率？用 1 減去 CDF 即可。以上面的例子來說，P(X > 85) = 1 − 0.9332 = 0.0668，約為 6.7%。
