什麼是二項分配的常態近似？
當二項試驗的次數很大時，要逐一算出精確的二項機率會變得相當繁瑣。此時可用「常態近似」，以一個平均數與變異數都相同的連續常態分配，來取代離散的二項分配。若隨機變數 \(X\) 服從參數為 \(n\) 和 \(p\) 的二項分配，則其平均數為 \(\mu = np\)，標準差為 \(\sigma = \sqrt{np(1-p)}\)。我們便能以常態分配 \(N(\mu, \sigma^2)\) 來估計 \(X\) 的累積機率。
如何使用這個計算器
輸入試驗次數 n、每次成功的機率 p（介於 0 與 1 之間），選擇機率類型（≤、<、≥、> 或 =），再填入數值 x。計算器會回傳 \(\mu\)、\(\sigma\)、經過連續性校正的 z 分數，以及近似機率。當 \(np \ge 5\) 且 \(n(1-p) \ge 5\) 時，這個近似結果最為可靠。
連續性校正
由於二項分配是離散的，而常態分配是連續的，我們會將邊界向外擴張或向內縮小 0.5，這就是所謂的「連續性校正」。舉例來說，\(P(X \le x)\) 使用 \(x + 0.5\)，\(P(X \ge x)\) 使用 \(x - 0.5\)，而 \(P(X = x)\) 則涵蓋 \(x - 0.5\) 到 \(x + 0.5\) 這段區間。每個調整後的邊界都會以 $$z = \frac{(x \pm 0.5) - \mu}{\sigma}$$ 轉換成 z 分數，再代入標準常態分配的累積分配函數（CDF）求值。
範例演算
假設 \(n = 20\)、\(p = 0.5\)，我們想求 \(P(X \le 12)\)。此時 \(\mu = 20 \times 0.5 = 10\)，$$\sigma = \sqrt{20 \times 0.5 \times 0.5} = \sqrt{5} \approx 2.2361$$ 加入連續性校正後，$$z = \frac{12.5 - 10}{2.2361} \approx 1.118$$ 標準常態 CDF 給出 \(\Phi(1.118) \approx 0.868\)，因此 \(P(X \le 12) \approx 0.868\)——與精確的二項機率值非常接近。
常見問題
什麼時候適合使用這個近似？常見的判斷準則是 \(np \ge 5\) 且 \(n(1-p) \ge 5\)。當 \(p\) 距離 0.5 越遠時，可能就需要更大的 \(n\) 才夠準確。
為什麼要加減 0.5？0.5 的連續性校正是用來彌補「以平滑曲線近似離散長條」所產生的誤差，藉此提升準確度。
這個結果是精確機率嗎？不是，它只是近似值。若需要精確結果（尤其是 \(n\) 較小時），請改用二項機率計算器。
