Qu'est-ce que l'approximation normale de la loi binomiale ?
Lorsque le nombre d'essais d'une expérience binomiale est élevé, le calcul des probabilités binomiales exactes devient vite fastidieux. L'approximation normale consiste à remplacer la loi binomiale discrète par une loi normale continue possédant la même moyenne et la même variance. Une variable aléatoire binomiale \(X\) de paramètres \(n\) et \(p\) a pour moyenne \(\mu = np\) et pour écart-type \(\sigma = \sqrt{np(1-p)}\). On utilise alors une loi normale \(N(\mu, \sigma^2)\) pour estimer les probabilités cumulées de \(X\).
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez le nombre d'essais n, la probabilité de succès à chaque essai p (comprise entre 0 et 1), choisissez le type de probabilité (≤, <, ≥, > ou =), puis la valeur x. Le calculateur renvoie \(\mu\), \(\sigma\), la ou les cotes \(z\) avec correction de continuité, ainsi que la probabilité approchée. L'approximation est fiable lorsque \(np \ge 5\) et \(n(1-p) \ge 5\) sont vérifiés simultanément.
La correction de continuité
Comme la loi binomiale est discrète alors que la loi normale est continue, on élargit ou on resserre la borne de 0,5 : c'est la correction de continuité. Par exemple, \(P(X \le x)\) utilise \(x + 0{,}5\), \(P(X \ge x)\) utilise \(x - 0{,}5\), et \(P(X = x)\) s'étend de \(x - 0{,}5\) à \(x + 0{,}5\). Chaque borne ajustée est convertie en cote \(z\) à l'aide de $$ z = \frac{(x \pm 0{,}5) - \mu}{\sigma} $$ puis évaluée avec la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite.
Exemple résolu
Supposons \(n = 20\), \(p = 0{,}5\), et que l'on cherche \(P(X \le 12)\). On a alors $$ \mu = 20 \times 0{,}5 = 10 $$ et $$ \sigma = \sqrt{20 \times 0{,}5 \times 0{,}5} = \sqrt{5} \approx 2{,}2361 $$ Avec la correction de continuité, $$ z = \frac{12{,}5 - 10}{2{,}2361} \approx 1{,}118 $$ La fonction de répartition de la loi normale centrée réduite donne \(\Phi(1{,}118) \approx 0{,}868\), donc \(P(X \le 12) \approx 0{,}868\) — une valeur très proche du résultat binomial exact.
Foire aux questions
Quand l'approximation est-elle valable ? Une règle courante consiste à vérifier que \(np \ge 5\) et \(n(1-p) \ge 5\). Lorsque \(p\) s'éloigne de 0,5, il peut être nécessaire d'augmenter \(n\).
Pourquoi ±0,5 ? La correction de continuité de 0,5 compense le fait que l'on approche des barres discrètes par une courbe lisse, ce qui améliore la précision.
Ce calcul donne-t-il la probabilité exacte ? Non, il s'agit d'une approximation. Pour obtenir des résultats exacts, utilisez un calculateur de probabilité binomiale, en particulier lorsque \(n\) est petit.
