Xấp xỉ chuẩn cho phân phối nhị thức là gì?
Khi số phép thử trong một thí nghiệm nhị thức rất lớn, việc tính xác suất nhị thức chính xác trở nên rườm rà và mất nhiều công sức. Phép xấp xỉ chuẩn thay thế phân phối nhị thức rời rạc bằng một phân phối chuẩn liên tục có cùng kỳ vọng và phương sai. Một biến ngẫu nhiên nhị thức X với tham số \(n\) và \(p\) có kỳ vọng \(\mu = np\) và độ lệch chuẩn \(\sigma = \sqrt{np(1-p)}\). Khi đó, ta dùng phân phối chuẩn \(N(\mu, \sigma^2)\) cho \(X\) để ước lượng các xác suất tích lũy.
Cách dùng máy tính này
Hãy nhập số phép thử n, xác suất thành công ở mỗi phép thử p (từ 0 đến 1), chọn dạng xác suất (≤, <, ≥, >, hoặc =) và giá trị x. Máy tính sẽ trả về \(\mu\), \(\sigma\), (các) điểm z đã hiệu chỉnh liên tục và xác suất xấp xỉ. Phép xấp xỉ đáng tin cậy khi cả \(np \ge 5\) và \(n(1-p) \ge 5\).
Hiệu chỉnh liên tục
Vì phân phối nhị thức rời rạc còn phân phối chuẩn lại liên tục, ta nới rộng hoặc thu hẹp ranh giới thêm 0,5 — đây chính là hiệu chỉnh liên tục. Ví dụ, \(P(X \le x)\) dùng \(x + 0{,}5\), \(P(X \ge x)\) dùng \(x - 0{,}5\), còn \(P(X = x)\) trải từ \(x - 0{,}5\) đến \(x + 0{,}5\). Mỗi ranh giới đã điều chỉnh được chuyển thành điểm z theo công thức $$z = \frac{(x \pm 0{,}5) - \mu}{\sigma}$$ rồi đưa vào hàm phân phối tích lũy (CDF) của phân phối chuẩn tắc để tính.
Ví dụ minh họa
Giả sử \(n = 20\), \(p = 0{,}5\) và ta cần tính \(P(X \le 12)\). Khi đó $$\mu = 20 \times 0{,}5 = 10$$ và $$\sigma = \sqrt{20 \times 0{,}5 \times 0{,}5} = \sqrt{5} \approx 2{,}2361.$$ Với hiệu chỉnh liên tục, $$z = \frac{12{,}5 - 10}{2{,}2361} \approx 1{,}118.$$ Hàm CDF chuẩn tắc cho \(\Phi(1{,}118) \approx 0{,}868\), nên \(P(X \le 12) \approx 0{,}868\) — rất sát với giá trị nhị thức chính xác.
Câu hỏi thường gặp
Khi nào phép xấp xỉ có giá trị? Quy tắc phổ biến là \(np \ge 5\) và \(n(1-p) \ge 5\). Khi \(p\) cách xa 0,5, bạn có thể cần \(n\) lớn hơn.
Vì sao lại ±0,5? Mức hiệu chỉnh liên tục 0,5 bù trừ cho việc dùng một đường cong trơn để xấp xỉ các thanh rời rạc, giúp kết quả chính xác hơn.
Kết quả có phải xác suất chính xác không? Không — đây chỉ là giá trị xấp xỉ. Để có kết quả chính xác, hãy dùng máy tính xác suất nhị thức, nhất là khi n nhỏ.
