ما هو التقريب الطبيعي للتوزيع ذي الحدين؟
عندما يكون عدد المحاولات في تجربة ذات حدين كبيرًا، يصبح حساب الاحتمالات الدقيقة أمرًا شاقًا ومرهقًا. هنا يأتي دور التقريب الطبيعي، إذ يستبدل التوزيعَ ذا الحدين المنفصل بتوزيع طبيعي متصل له المتوسط والتباين نفسهما. فالمتغيّر العشوائي ذو الحدين \(X\) بالمعاملَين \(n\) و\(p\) له متوسط قدره \(\mu = np\) وانحراف معياري قدره \(\sigma = \sqrt{np(1-p)}\). وبذلك نستعين بالتوزيع الطبيعي \(N(\mu, \sigma^2)\) لتقدير الاحتمالات التراكمية للمتغيّر \(X\).
كيفية استخدام الحاسبة
أدخِل عدد المحاولات n، واحتمال النجاح في كل محاولة p (قيمة بين 0 و1)، ثم اختر نوع الاحتمال (≤، <، ≥، >، أو =)، وأخيرًا القيمة x. تُرجع لك الحاسبة قيمة \(\mu\) و\(\sigma\) ودرجات \(z\) المصحَّحة بتصحيح الاستمرارية إضافةً إلى الاحتمال التقريبي. ويكون هذا التقريب موثوقًا عندما يتحقق الشرطان معًا: \(np \ge 5\) و\(n(1-p) \ge 5\).
تصحيح الاستمرارية
بما أن التوزيع ذا الحدين منفصل بينما التوزيع الطبيعي متصل، فإننا نوسّع الحد أو نضيّقه بمقدار 0.5، وهو ما يُعرف بتصحيح الاستمرارية. فعلى سبيل المثال، يستخدم الاحتمال \(P(X \le x)\) القيمة \(x + 0.5\)، ويستخدم \(P(X \ge x)\) القيمة \(x - 0.5\)، أما \(P(X = x)\) فيمتد من \(x - 0.5\) إلى \(x + 0.5\). ويُحوَّل كل حد معدَّل إلى درجة \(z\) عبر العلاقة $$z = \frac{(x \pm 0.5) - \mu}{\sigma}$$ ثم يُقيَّم باستخدام دالة التوزيع التراكمي الطبيعي القياسي.
مثال محلول
لنفترض أن \(n = 20\) و\(p = 0.5\)، ونريد حساب \(P(X \le 12)\). عندئذٍ يكون $$\mu = 20 \times 0.5 = 10$$ و$$\sigma = \sqrt{20 \times 0.5 \times 0.5} = \sqrt{5} \approx 2.2361$$ وبتطبيق تصحيح الاستمرارية نحصل على $$z = \frac{12.5 - 10}{2.2361} \approx 1.118$$ وتعطي دالة التوزيع التراكمي الطبيعي القياسي \(\Phi(1.118) \approx 0.868\)، أي إن \(P(X \le 12) \approx 0.868\) — وهي قيمة قريبة جدًا من القيمة الدقيقة للتوزيع ذي الحدين.
الأسئلة الشائعة
متى يكون التقريب صالحًا؟ القاعدة الشائعة هي أن يتحقق \(np \ge 5\) و\(n(1-p) \ge 5\). وكلما ابتعدت قيمة \(p\) عن 0.5، احتجتَ إلى عدد محاولات \(n\) أكبر.
لماذا نستخدم ±0.5؟ يعوّض تصحيح الاستمرارية بمقدار 0.5 عن تقريب الأعمدة المنفصلة بمنحنى أملس متصل، وبذلك يحسّن دقة النتيجة.
هل تعطي هذه الطريقة الاحتمال الدقيق؟ لا، فهي تقريب فحسب. وللحصول على نتائج دقيقة استخدم حاسبة احتمال التوزيع ذي الحدين، خاصةً عندما تكون قيمة \(n\) صغيرة.
